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MÉCANIQUE. — Sur le pendule à fige variable. Note de M. L. Lecorvu, 

 présentée par M. Haton île la Goupillière. 



« Les oscillations d'un pendule de longueur variable, réalisé, par 

 exemple, au moven d'un poids suspendu à la corde d'un treuil, sont régies 



par l'équation différentielle l -^ '^'^Jl Jt + S'sinO = o, dans laquelle /dé- 

 signe la longueur du pendule, et l'inclinaison sur la verticale. Si la lon- 

 gueur varie proportionnellement au temps /, ou a l = a -i- bt. Si, de plus, 

 ces oscillations sont assez faibles pour qu'on puisse remplacer siuO parO, 



et si l'on pose u = bl, x = j„ l, il vient 



d-u 

 (l) ''d^--^'" = ''- 



» L'intégration d'une pareille équation donne, comme l'on sait, nais- 

 sance à des fonctions cylindriques : le mouvement considéré présente 

 donc cet intérêt spécial de fournir une image très nette de ia marche de ces 

 fonctions. Par la méthode des coefficients indéterminés, on se procure 

 aisément la solution particulière 



2.r' 3 .r' /i'ï"* 



T (1.2)- (l.2.û)^ (1.2.3.4)- 



qui n'est autre chose que y/a; J, (2 y-r). Ou en réduit l'intégrale générale 



Celle-ci peut également se mettre sous la forme 



~ \ _ î 1 



« = Ca; / cos(2 cosojy a: — a) sin'^of/io -^ sinx / e"-^'"'-''"^'" — '^- y 



avec les deux constantes arbitraires C et a. Comme le pendule s'allonge 

 indéfiniment, il arrive toujours un moment où la valeur initiale a peut être 



prise assez grande pour que le nombre abstrait — =^ soit très petit, et il 



\Jga 



est alors avantageux de développer u ou suivant les puissances crois- 

 santes de ce nombre. Le calcul ne présente aucune difficulté. Si l'on né- 



