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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Intégration de V équation du son pour un fluide 

 indéfini à une, deux ou trois dimensions, quand des résistances de nature 

 diverse introduisent dans cette équation des termes respectivement propor- 

 tionnels à la fonction caractéristique du mouvement ou à ses dérivées par- 

 tielles premières ; par M. J. BoussixESQ. 



« I. Une importante Note de M. Poincaré {Comptes rendus, 26 décem- 

 bre 1893 ; t. CXVII, p. 1027) vient d'appeler l'attention sur le problème 

 de la propagation de mouvements comme seraient des ondes sonores pro- 

 voquant certaines résistances proportionnelles à la vitesse, problème que 

 cette Note résout, dans le cas d'un milieu indéfini à une seule coordon- 

 née :r, par l'emploi de la formule de Fourier, avec l'indispensable effec- 

 tuation ultérieure de la moitié des intégrations définies auxquelles conduit 

 cette formule, et que M. Picard, dans la séance suivante (^Comptes rendus, 

 1 janvier 1894; t. CXVIII, p. iG) a i-epris, plus simplement, par le pro- 

 cédé d'intégration de Riemann j)our l'équation linéaire du second ordre 

 à deux variables indépendantes. Je me propose de montrer ici qu'on peut 

 le traiter, dans le cas beaucoup plus complexe d'un milieu à trois dimen- 

 sions ou coordonnées x, y, z, par de simples applications de l'intégrale 

 classique, due à Poisson, de l'équation ordinaire du son réduite à la forme 



^ V d^H d- Il d- u d- Il 



^^^ rfî^- — ^2 + ^2 + ^' 



c'est-à-dire de l'intégrale bien connue 



u=^ -, J f <p (>r + / cos X, y ^ t cos [i, z j- t cosy ) — 



i[Tz eu J^ t 



.d. 

 i')T' 



da 



(2) 



7— / <I>(.r + t cos a, y -I- / cos (3, z -\- t cosy)- 



OÙ <p(cr, y, z), (p(x,y, z) désignent les valeurs initiales (relatives à / = o) 

 tant de la fonction u que de sa dérivée première en t, et où les intégrations 



/ s'étendent à toute l'aire (7 = 4~^" d'une sphère, décrite autour de 

 (x,y, s), dont les divers points (x -t- tcosx, y -+- f cosjb, z -{- t cosy) sont 



