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(luire initialement à deux fonctions données /(j, z), F(r, z). Rien n'em- 

 pêchera de construire cette fonction u pour tout l'espace et d'après la 

 formule (2), c'est-à-dire en l'assujettissant à l'équation (i), si l'on peut 

 disposer de sa manière de varier avec a;, arbitraire jusqu'à présent, de telle 

 sorte qu'elle vérifie à la fois les deux équations (4) et (i), ou qu'elle 

 donne 



(5) g = ±4i'«. 



Par conséquent, cette équation (5) s'appliquera d'abord pour / infiniment 

 voisin de zéro; c'est-à-dire qu'elle régira, en particulier, les valeurs ini- 

 tiales (f(x,y,z) el (^(x,y, z). Donc, en représentant par les signes co, si 

 des cosinus et sinus soit hyperboliques, soit circulaires, suivant que le 

 second membre de (5) aura le signe supérieur ou le signe inférieur, nous 

 devrons prendre, vu la forme connue des deux parties [ani. paire qu'impaire 

 de l'intégrale de (5), 



1 (p(a7, y, z) =/( r, z) co(2kx) +/, ( r, z) s\(-j.kx), 

 I (p(x,y, z) = F(y,z)co(2ka;)'-hY,(y,z)si(2ka;), 



oh /(y,z), F{y, z), /,(y,z), Fjy,z) désignent quatre fonctions arbi- 

 traires, dont les deux premières sont les valeurs données de ç et <I> sur le 

 plan des yz. D'ailleurs, avec ces expressions (6) de cp et $, la valeur (2) 

 de u pourra évidemment, quel que soit t, se différentier en x sous les 



signes / ; et, les dérivées secondes des fonctions ç, <î>, par rapport à leur 



première variable a; H- f cosa, y reproduisant identiquement, d'après la 

 propriété qui nous a donné (6), ces fonctions mêmes multipliées par la 

 constante ± f\k^, l'équation (5) se trouvera satisfaite à toute époque, non 

 moins que (i). U en résultera donc bien la vérification constante de l'équa- 

 tion (4) du problème. 



» Comme on n'a besoin des valeurs de u que pour a; = o, c'est-à-dire sur 

 le plan des yz, les parties impaires des expressions (6) de ç et de 4>, celles 

 où figurent des sinus, donneront, sous] les signes f de (2), des éléments 



égaux et contraires pour deux éléments cIg de sphère symétriques de part 

 et d'autre du plan des js, ou correspondant auK mômes valeurs de cosjî, 

 cosy, mais à des valeurs égales et contraires de cosa ou, par suite, de la 

 première variable tout entière, qui sera «cosa. Donc ces parties impaires 

 des expressions (6) disparaîtront des résultats; et il ne restera que les 



