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qui est son intégrale, l'expression générale de u sera, si nous appelons 

 f{x, y, z, r), F {x, y, z, r) les valeurs initiales respectives de cette fonction 

 et de sa dérivée en t, 



(i4) 



» Nous disposerons donc decequelesfonctions/(^, j, z,r), Y{x,y,z,r) 

 se trouvent données seulement quand r = o, alors qu'elles se réduisent à 

 <p(x,y, ^) et à (I'(.r,y, 3), pour les faire varier avec r de manière que m, 

 s'il est possible, vérifie aussi la seconde équation (i3). Celte équation, 

 identique à (1) sauf le changement de t en r, doit, dès lors, s'appliquer en 

 particulier pour t infiniment voisin de zéro et régir, par conséquent, les 

 fonctions d'état initial /(x, y, :,/•). F(^.7.=.0- Celles-ci auront donc 

 comme expressions, d'après l'intégrale générale (2) de (i), où r rempla- 

 cerait l, 



( /(^. J. =' '') = 77 ^,-/? '■^' "^ '"cos*' y + ''cosp, z + r cosy) ^ + . • . , 



F (.r, y, 3, a) = 7^^- / ,])(.r-f-rcosy.,y+/-cos[i,3 H- rcosy)— +.... 



» Je me suis contenté de représenter par des points, dans chacune de 

 ces formules, une intégrale définie de même forme que celle qui précède 

 les points, mais non différentiée, comme elle, par rapport à r, et, par 

 cela même, fonction impaire de r destinée à disparaître des résultats défi- 

 nitifs, tandis que le terme écrit est une fonction paire de r. 



» Telles sont les expressions de/, F à porter dans (i4), après y avoir 

 remplacé r par r + t. Or la forme même, (i4), de la valeur générale 

 ainsi obtenue pour u, montre que les dérivées de a en x,y, z, r se calcu- 

 leront par de simples différentiations, sous les signes / , des facteurs 



f{x,y, z, r-h-c), F{x,y, z, t+t), relativement à leurs quatre variables 

 respectives cr,j, z, r-\-T. Et comme, d'après la relation que vérifient (i5), 

 les trois dérivées secondes directes ainsi obtenues en x,y, z auront pour 

 somme la dérivée seconde directe prise par rapport à la quatrième va- 

 riable ;•+ r, la deuxième équation (i3) se trouvera bien identiquement 



(i5) 



