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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommatiov rapide de certaines séries peu 

 convergentes {séries harmoniques ahernées). Note de M. A. Janet. 



« Les séries de la forme 



S = -' , - ' ' ' 



a -\- b a -\- ib « + 36 a -\- !\b 



sont convergentes tant que h est positif, mais leur convergence est fort 



lente, surtout quand h est petit par rapport à a. 



/■' - 



En remarquant que =^ / ;r ''dx, on voit aisément que l'on a 



s = 7 / dx. 



b I \ -\- X 



«- 



» Ceci posé, si nous pouvons trouver une fonction entière 'f(.p), telle 

 que, dans l'intervalle de o et i, la différence — 9(2) garde constam- 

 ment le même signe et ne dépasse pas une valeur i, S sera représenté par 



(i) \j^x'^<,{x)dx, 



avec une approximation de — '—j- 



» On trouve aisément o(.r) = i — j; H- jx"^ — -x'^ . 

 » Pour nous rendre compte de la valeur de £, posons 



(2) — l — X -V yX^ — -jX'' -\- Z, 



^ ' \-\- X 4 4 



et chassons le dénominateur. Nous trouverons 



I a;^(i — xY 



4 I -t- A' 



ce qui nous montre d'abord que la différence ?(^) garde constam- 

 ment le signe ■+- dans l'intervalle considéré, et qu'ensuite celte différence 

 est maximum pour 



_ v/33 — 3 



X : 



6 



1 . .» i 1 1^/33 — 63 ,. 



le maximum étant — - — 5 =^ o,oiod.... 



