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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur une propriété métrique commune à 

 trois classes particulières de congruenccs rectilignes. Note de jM. Alphonse 

 Demoulix, présentée par M. Darboux. 



« I. Nous considérons dans cette Note : i° les congruences (r,) qui 

 établissent une correspondance entre une famille d'asymptotiques appar- 

 tenant à l'une des nappes de la surface focale et une famille d'asympto- 

 tiques appartenant à l'autre nappe. 



« oP Les congruences (r.) sur les deux nappes de la surface focale des- 

 quelles les lignes de courbure se correspondent. 



» 3° Les congruences (r,) telles que les lignes asymptotiques de l'une 

 des nappes de la surface focale correspondent aux lignes de courbure de 

 l'autre nappe. 



» Ces trois classes de congruences jouissent d'une propriété métrique 

 remarquable, qui a déjà été rencontrée dans divers cas particuliers par 

 Halphen (') et Ribaucour (^). 



» Appelons (S) et (S') les deux nappes de la surface focale de l'une des 

 congruences qui viennent d'être définies; une droite quelconque de cette 

 congruence touche (S) en M et (S') en M'; les plans focaux relatifs à cette 

 droite font entre eux un angle que nous désignerons par V. Soient R,, R^ 

 les rayons de courbure principaux de (S) en M, et R, , R^ les rayons de 

 courbure principaux de (S) en M'. Gela posé, on a 



(A) R,R,R',R;sin»V = MM''. 



» IL Pour démontrer cette relation, nous nous appuierons sur quelques 

 formules relatives aux surfaces réglées; nous allons tout d'abord les éta- 

 blir. 



» Soient (G) une génératrice quelconque d'une surface réglée, O son 

 point central et [i son paramètre de distribution. Prenons sur cette géné- 

 ratrice deux points quelconques M, M' et appelons ç, 9' les angles que les 

 plans tangents en ces points font avec le plan tangent en O. On a 



OM . , OM' 



tang9 = -p-, lang(p:=-p-, 



(') Bulletin de la Société mathématique, t. IV, p. 94 ; 1876. 



(') Elude des élassoïdes ou sur/aces à courbure nKjyeiinc nulle, j). 70 el 71. 



