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d'où, en soustrayant, et posant cp — cp' = V, 



jj _ MM' 



^ ' costp cos©' sin V 



» Appelons t et t' les rayons de torsion des asymptotiques qui passent 

 respectivement par les points M et M'. Soient w, l'angle de la génératrice (G) 

 et de la tangente à l'une des lignes de courbure qui se croisent en M et R 

 le rayon de courbure correspondant ; soient, de même, w', l'angle de la géné- 

 ratrice (G) et de la tangente à l'une des lignes de courbure qui se croisent 

 en M', et R', le rayon de courbure correspondant. Nous aurons (') 



cos-o • cos^o' 



B , , S 



R. tang(o. = , , R.tangto = — -— , 



' " ' cos-cp ' ° ' cos^œ' 



d'où, en tenant compte de la relation (i), 



(2) -rT'sin'»V = MM' , 



(3) R,R', tangoj, tangw', sin^'V = MM'', 



(4) tR; tang(o;sin2V = MM'\ 



)) III. Abordons maintenant la démonstration delà formule (A), et, à 

 cet effet, envisageons successivement les congruences (F,), les con- 

 gruences (To) et les congruences (Tj). 



» Congruences (T,). — Par hypothèse, il existe sur la nappe (S) une 

 famille (F) d'asymptotiques à laquelle correspond sur la nappe (S') une 

 autre famille d'asym|5totiques. Lors donc que le point M décrira une 

 asymptotique (A) appartenant à la famille (F), le point M' décrira une 

 asymptotique (A) de (S'), et la droite MM' engendrera une surface ré- 

 glée (1) qui admettra évidemment comme asvmptotiques les lignes (A) 

 et (A'). 



» Soient t et t' les rayons de torsion des lignes (A) et (A') aux points M 

 et M', et V l'angle des plans tangents à (I) en ces points, c'est-à-dire 

 l'angle des plans focaux relatifs à MM'. 



» On aura, en vertu de (2), 



T-T'-sin" V = MM'' 



(') Voir G. Darboux, Leçons sur In théorie générale des surfaces, t. III, p. 809. 



