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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Complément à une précédente Note « Sur la 

 propagation du son dans un fluide soumis à des résistances diverses » : déter- 

 mination analytique du problême; par M.. J. Boussi\esq. 



« Pour compléter Tétude, que j'ai faite récemment ( ' ), de l'équation 



(i) -^ —\.u-àz[^k'^u, 



oîi ^2 est le paramètre différentiel du second ordre -^^ +.. . d'une fonc- 

 tion continue de point, u, dans un espace indéfini à une, deux ou trois coor- 

 données rectangulaires œ, y, z, il ne sera peut-être pas inutde de prouver 

 que cette équation détermine entièrement la suite des valeurs de la fonc- 

 tion u aux diverses époques /, dès que l'on se donne ses valeurs initiales 

 (p(a7, y, :;), ou valeurs relatives à l'époque i = o, et celles, $ (a;, j, :;), de 

 sa dérivée première en t. Voici comment on peut le démontrer fort simple- 

 ment, du moins quand on suppose la fonction u donnée aussi aux distances 

 infinies de l'origine, c'est-à-dire astreinte soit à s'y annuler ou en toute 

 rigueur, ou asymptotiquement, soit, d'une manière plus générale, à y 

 tendre vers certaines valeurs finies, fonctions du temps t et de la direction. 

 » I. Gardons l'équation sous sa forme (i) quand le dernier terme a 

 le signe inférieur —, ou écrivons-la, par conséquent. 



(2) ^=\,u-^k^u. 



» Mais, dans le cas contraire du signe supérieur -l-, posons u = e-'"v; 

 ce qui, d'une part, conduit à remplacer l'équation (i) par l'équation 

 en V, 



et, d'autre part, donne, pour t im\, u = v, -^ = ~ + '2 Av. Il revient donc 

 au même de connaître initialement u avec sa dérivée première en t, ou v 

 avec sa dérivée analogue -^, et aussi, d'ailleurs, d'astreindre u à prendre 



(') Voir le numéro précédent des Comptes rendus, p. 228. 



