( 272 ) 



certaines valeurs pour chaque époque aux distances infinies de l'origine, 

 ou d'y astreindre v. 



» Cela posé, s'il existe, pour mêmes données initiales, deux solutions 

 distinctes de l'équation (2) ou de l'équation (3), s'annulant ainsi à l'infini 

 ou y tendant vers les mêmes valeurs, il est clair que leur différence sera 

 encore une solution de l'équation (2) ou (3), mais une solution initiale- 

 ment nulle avec sa dérivée première en t, et évanouissante aux distances infi- 

 nies de l'origine. Pour établir qu'une telle différence se réduit nécessaire- 

 ment à zéro, nous avons donc à montrer que toute fonction continue u 

 ou V régie par l'équation (2) ou (3) et astreinte, avec sa dérivée première 

 en ï, à s'annuler pour i = o, restera indéfiniment nulle, pourvu qu'elle 

 doive sans cesse s'évanouir en tous les points infiniment éloignés de 

 l'origine. 



)) Dans ce but, décrivons de l'origine comme centre, avec un rayon 

 constant quelconque t, la figure, a, qui circonscrira tout l'espace ra dont 

 les distances à l'origine sont inférieures à t, savoir : la sphère a = /iTit* 

 dans le cas des trois coordonnées x, y, z; la circonférence g = 2r,t dans 

 le cas d'un plan ou de deux coordonnées seulement; enfin, l'ensemble des 

 deux points d'abscisses ± t, ensemble dont la valeur constante sera censée 

 être c = 2, dans le cas d'un simple espace linéaire ou à une seule coor- 

 donnée. Quel que soit le nombre, 3, 2, ou i, des dimensions de u, nous 

 appellerons dx une normale infinimeni petite menée, vers le dehors, à 

 chaque élément de de sa limite a, en prolongement du rayon ï qui le joint 



à l'origine; et nous représenterons par -7- la dérivée, suivant cette nor- 

 male, (le la fonction qui sera écrite après le d an numérateur. 



» Multiplions l'équation (2) ou (3) par 2udu ou par ai'f/c;, et intégrons 



chaque terme dans toute l'étendue cr, après avoir substitué kui -j—^ -f- . . . ) 

 et à «^ ( -7-4^ -f- . . . j, respectivement, 



dx ) ' ' ' \ dx'^ ' ' ' ) d.r \ dx ) ' ' ' Xdx"^ 



c'est-à-dire, plus simplement, d'après la notation A, de Lamé pour les 

 paramètres différentiels du premier ordre, 



» En transformant, par le procédé ordinaire, les termes intégrables 



^'" 



