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 riable ^ + t coso., pour qu'une intégration devienne effectuable sous forme 

 finie, et, le résultat, réductible à (7) (*). 



(') Cette réduction n'est cependant pas bien difficile : voici comment je viens de 

 l'opérer. 



Chacune des deux intégrales figurant au second membre de (i6) se dédouble im- 

 médiatement, grâce à une intégration par parties dans laquelle on prend le potentiel , 



sphérique / pour facteur intégré, en deux intégrales, relatives, l'une, aux divers élé- 



■- a 



ments de la surface a de la sphère de rayon < décrite autour de {a:,y,z) comme centre, 

 l'autre, aux divers éléments c/ct = dxch, à coordonnées a; -h x, r + y, s + z, du vo- 

 lume ro de celte sphère. Des deux expressions, exactement pareilles, ainsi obtenues, 

 celle, par exemple, où figure la fonction arbitraire <f est 



(a) 



.d'y 

 tp ( X + i cos a, j + < cos p, ^ + < cos Y ) — 



7. 



j -f-2Â-2 f \]' [k-r-— k-x^^ k^'y-— k^-z'-) <b{x -^x, y + y, z -Jr z) dm. 



Cela posé, quand a; = o et que <f se réduit à /(j + y, - + z), il y a symétrie de 

 part et d'autre du plan desyj; et il suffit d'intégrer pour la demi-sphère située du 

 côté des x positifs, en doublant les résultats. De plus, le volume |ro peut être décom- 

 posé en filets élémentaires dy dz f dx parallèles aux a:, ayant pour leur base dy dz, 

 sur le plan des yz, la projection correspondante,' rfa cos a, de l'élément dn de sphère 

 intersecté à leur extrémité d'abscisse x r= <cosa, et auquel aboutit le rayon t défini 



en direction par les deux cosinus directeurs cosp=:^, cosy = -- L'expression (a) 



devient aisément 



, r ^i cosa -1 



b) 2 r /■(;• + ^cosp, - + <cosy) -~ i + ik^tcosaj V (k^t'^cos^a — k^\-) dx\. 



La quantité entre crochets, si l'on pose, pour abréger, A^cosa — A, A'x^X, n'est 

 autre que i4-2A / U'(A-— X-) liX ; et elle prendla forme suivante, quand on y rem - 

 place la fonction dérivée V par son développement en série, déduit de (9), 



(c.) ^-2a(±a+^±-^^34-,,-;^^±...), oa i„ = |\a^-x^)«^. 



Or une intégration par parties, efiectuée sur I„ avec X pour facteur intégré, donne 

 {pour«>o) \^ — iiii X2(A^— X=)"-'c?X = 2MAn„_,— 2«I„; 



