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» Il n'en est pas de même dans le cas d'une seule coordonnée, x par 

 exemple. Alors la réduction de la forme (i6) à la forme simple (i i) se fait 

 immédiatement. Car si l'on décompose la sphère a = 4~f*j P^"" J^s plans 

 parallèles aux js, en zones élémentaires, dont l'une quelconque aura l'ab- 

 scisse ce -+- Tcosa. = X et la hauteur dX ou l'aire 277Tr/X, les intégrales / 



"-'a- 



deviendront, dans la formule (i6) où cp, <I> seront maintenant /(X) et F(X), 



iT.ff{X)dX et ^T.f"\{\^)d\, 



expressions pour lesquelles la règle de différentiation des intégrales défi- 

 nies donne les dérivées premières en t, 



2TC[y(arH-T)-h/(a;-T)] et 277[F(^ + t) 4- F(ic - t)]. 



)) Il suffit donc, après substitution de celles-ci dans (16), d'observer 

 que f(œ — t), ¥(cc — t) pourront être supprimés sous les signes /, à la 

 condition d'étendre le champ des intégrales aux valeurs négatives de t 

 allant de — ta zéro, pour avoir enfin 



M = 1 ^^ r/(.r-+-T)U(P/^ ~r-z')d^ 4- ^f'F{x + r)\]{k't^-k'z')d', 



c'est-à-dire, précisément, la formule (11). sauf le.remplacement de /-par a:;. » 



d'où la formule de réduclion 



11 en résulte, à partir de Ij = A, 

 {d) I.-3A, l2-3gA, .... »'.-3.5...^2„ + i) A ' •■•' 

 et, enfin, par substitution de ces valeurs dans (c), la série 



('^^ •- "Ti" + 7:04 -1:^.3.4.5.6 "^••■- 



Le terme général, abstraction faite du signe, est 



(1.2.3. ..«)2«+'Â.2«+2 _ (2A)^"-^^ 



(1.2. . .ny{n-hi) .3.5...(2rt-l-i)~ i.2...(2/H-2) 



On reconnaît, dans cette série, le développement de co(2Â) ou de co(2 A<cosa). 

 Et l'expression {b) devient bien, comme il le fallait, 



/dn 

 co(2 A"<cosx)/( j + /cos|3, z -+■ <cosy) — • 



