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GÉOMÉTRIE. — Sur des congjuences rectilignes et sur le problème de Ribau- 

 cour. Note de M. E. Cosserat, présentée par M. Darboux. 



« Dans une Note insérée aux Comptes rendus du 29 janvier, M. A. De- 

 moulin a rappelé l'attention sur des résultats obtenus par Halphen et 

 Ribaucour. Il n'est pas inutile d'ajouter que les congruences (r,) et (Fo) 

 de M. Demoulin appartiennent aune même classe qui intervient utilement 

 dans le problème de la déformation et à l'égard de laquelle Ribaucour (') 

 a énoncé, sans démonstration, des propositions générales; les théorèmes 

 de Ribaucour ont été établis, d'une façon très élégante, par M. Bianchi (-), 

 dans un de ses plus beaux Mémoires. Dans un travail qui est actuellement 

 à l'impression, j'ai repris la démonstration de ces mêmes théorèmes et j'ai 

 énoncé, en me laissant guider par les Leçons de M. Darboux, une proposi- 

 tion qui est la réciproque de celle envisagée par Ribaucour et par M. Bianchi ; 

 il est bien aisé, en effet, d'établir le théorème suivant : 



» Pour qu une congruence établisse une correspondance entre les asymptotiques 

 des deux nappes (F,) et (F.^) de In surface focale, il faut et il suffit que le pro- 

 duit des quatre rayons de courbure principaux des surfaces (F,), (Fo) aux 

 points correspondantsF ,, F., soit égal à la quatrième puissance du quotient de 

 la distance de ces deux points par le sinus de l'angle des plans focaux. 



» Cette proposition résulte immédiatement des formules que j'ai don- 

 nées dans un Mémoire antérieur; remarquons, en effet, que, dans le cas 

 actuel, la représentation sphérique d'une droite de la congruence peut être 

 supposée dépendre essentiellement de deux paramètres distincts ; rappor- 

 tons la congruence à ses développables ; choisissons sur la normale à (F,) 

 en F, un sens positif pour compter les segments, en sorte que les rayons 

 de courbure principaux R,, R', auront des signes déterminés; opérons de 

 même pour les rayons de courbure principaux R., R'„ de (F,) en F,; dans 

 ces conditions, on a les formules (') 



^iipqi — Wi)- - - <^i(pqi — qp)- 



(') Etude des élassoïdes ou surf ace à courbure moyenne nulle, § 187, p. 229. 



( = ) Sopra alcune nuos'e classi di superficie e di sistenii tripli ortogonali, p. 328, 



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( = ) Sur les congruences de droites et sur la théorie des surfaces, p. 20, 21 {An- 

 nales de la Faculté des Sciences de Toulouse, !. VU), 



