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 fasse à la question, il est nécessaire et il suffit que son élément linéaire 



soit de la forme 



ds- = U'= V- du- -[-\]^y]dv-. 



La surface (S) choisie, la surface (S,) sera le lieu du point M, (— UV, 0,0). 

 » Si l'on pose 



J-(r = '' Jy^' = ^' 



l'élément linéaire ci-dessus devient 



ds- = e^''B(?,) (d^- -i- df-), 



B (p) étant une fonction arbitraire de son argument. 



» On reconnaît là l'élément linéaire le plus général des surfaces spi- 

 rales. 



» Enfin, on démontrera aisément que le point M, est le centre de cour- 

 bure géodésique, en M, de la courbe a. = const., qui passe en ce point. 



» Réunissant ces différents résultats, nous pouvons énoncer le théo- 

 rème suivant : 



,» Soient (S) et(S,) deux surfaces qui se correspondent par orthogonalité 

 des éléments, M et M, deux points correspondants. Si iesdroitesMM, sont tan- 

 gentes à la sur/ace (S ), celle-ci sera applicable sur une sur/ace spirale. Son 

 élément linéaire ayant été ramené à la forme 



ds- ^ e-^BÇ^j) (dx- -{- df-), 



les droites MM, seront tangentes aux lignes p = const. , et un point quelconque 

 M, f/e(S,) sera le centre de courbure géodésique en M de celle des courbes 

 a =: const. qui passe en ce point. 



» Réciproquement, lorsqu'une surface (S) admet l'élément linéaire des sur- 

 faces spirales , savoir 



les centres de courbure géodésique des lignes a. = const. sont situés sur une 

 sur face {^^^ qui correspond à {S) par orthogonalité des éléments. Un point 

 quelconque M de (S) a pour correspondant le centre de courbure géodésique 

 en M de celle des courbes a. = const. qui passe en ce point. 



y> Nous terminerons cette Note en résolvant la question suivante : 

 » Deux surfaces (S) et (S,) peuvent-elles se correspondre par ortho- 

 gonalité des éléments de telle manière que les droites MM,, qui joignent 

 deux points correspondants, soient tangentes aux deux surfaces? 



