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)) D'après ce qui précède, ces surfaces, si elles existent, seront appli- 

 cables sur des surfaces spirales. Soit 



l'élément linéaire de la surface (S). En exprimant, au moyen des for- 

 mules (ij, que la droite MM, est tangente en M, à la surface (S,), on 

 trouve que les lignes de courbure de la surface (S) sont les lignes a'=const. 

 et P' = const. On déduit de là, par l'emploi des formules de Codazzi, que 

 la surface (S) est nécessairement plane. Écartant cette solution banale, 

 nous pouvons donc dire qu'il n'existe pas de congruence rectiligne établis- 

 sant entre les deux nappes de sa surface focale une correspondance par 

 orthogonalité des éléments. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des fonctions. 

 Note de M. Emile Borel, présentée par M. G. Darboux. 



« Je demande à l'Académie la permission de lui communiquer quelques 

 résultats dont je dois publier prochainement la démonstration. 



)i I. Je considère les fonctions ç(-) représentées par une série de la 



forme I, , — — ^r' dans laquelle les a sont des nombres entiers limités et 

 y," "-II) "■ 



les A des quantités telles que la série - | A„ | soit convergente. Supposant 

 les quantités a représentées par des points dans un plan, je considère les 

 points a' dans le voisinage desquels se trouve une infinité de points a. Je 

 suppose que les points a' forment au plus des lignes L et que les points a 

 non situés sur ces lignes sont isolés ou ont des points limites isolés. 



» La.classe de fonctions ainsi définies possède certaines des propriétés 

 les plus importantes des (onctions analytiques, considérées comme un en- 

 semble de développements de Taylor. On sait que, si les séries ç(-) sont 

 convergentes en tous les points d'une aire S, elles sont absolument et uni- 

 formément convergentes dans toute aire S' intérieure à S, ainsi que les 

 séries des dérivées de leurs termes, qui sont des fonctions de même nature. 

 De plus, si des fondions telles que çp (^z)sont liées par une relation algcbriqui: 

 vérifiée pour tous les points d'une aire S, cette relation est identique et par 

 suite est vraie en tous les points où les séries. sont convergentes. Nous pouvons 

 donc convenir de dire que les séries 9(3) représentent /a même fonction 

 en tous les points où elles sont convergentes; celle iléfinilion n'est jamais 



