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en contradiction avec celle du prolongement analytique au moyen de la 

 série de Taylor. 



» Il est nécessaire de dire quelques mois d'un résultat singulier obtenu par 

 M. Poincaré et qui contredit en apparence ce qui précède. Nous allons voir que ce 

 résultat provient de la difficulté qu'il y a à définir l'uniformité d'une fonction possé- 

 dant une ligne singulière essentielle, même non fermée. Considérons une fonction 

 tp(s) admettant comme ligne singulière L la partie positive de l'axe des quantités 

 réelles, et soit §" (s) une fonction uniforme quelconque, à singularités isolées. Il est 

 clair que la fonction tj;(s) = f{s) -+- g{z) \ogz satisfait, ainsi d'ailleurs que <p(3), à la 

 définition usuelle des fonctions uniformes; on est ainsi conduit à admettre que la 

 différence de deux fonctions uniformes peut être non uniforme. Il semble plus na- 

 turel ici de convenir de dire que les fonctions a{z) sont uniformes et les fonctions 

 telles que <{'(«) faussement uniformes. Le résultat de M. Poincaré s'explique mainte- 

 nant aisément; posons ij;, (3) = ts( — 5) — ^(s)logs, il est clair que si l'on a dans la 

 partie supérieure du plan (les déterminations de logj; étant convenablement choisies) 

 l'égalité i)^ H- «l*! = tp ( " ) -H <f ( — -), on aura dans la partie inférieure 



4; 4- '1^1 = (s) -f- !f) ( — 5) + 2 «t:^ ; 



c'est le résultat de M. Poincaré; on voit qu'il ne présente plus rien de singulier et ne 

 doit pas nous empêcher de dire que la série (f (.:) H- ç ( — -■) représente la même fonc- 

 tion dans tout le plan. 



» D'ailleurs lorsqu'on donne le développement de Taylor d'une fonc- 

 tion appartenant à la classe des fonctions ip (:;), il est possible, au moins 

 théoriquement, de reconnaître qu'elle appartient effectivement à celte 

 classe de fonctions, et de calculer les a et les A, qui sont parfaitement 

 déterminés. 



» II. Considérons une série de la forme 



et supposons seulement que la série 1 \\/A,i \ soit convergente. Désignons 

 par P et Q deux points qui ne coïncident, ni avec un point a, ni avec un 

 point a', limite de points a, et par S une aire simplement connexe com- 

 prenant à son intérieur les points P et Q. 



» // est alors possible de tracer une infinité non dénombrable de courbes C, 

 comprises en entier à l'intérieur de S, joignant les points P et Qet tel/es que, 

 sur chacune de ces courbes, la série soit uniformément convergente et repré- 

 sente par suite une fonction continue. 



» Cette proposition peut d'ailleurs être généralisée. 



>) III. Pour démontrer la proposition précédente, je me suis appuyé sur 



