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à réquation de Laplace 



d^Y â-Y d-\ _ ^ 

 dx^ dy- d:'^ 



)) En désignant par ¥„ la valeur que la fonction acquiert à l'origine des 

 coordonnées, et par V, celle qu'elle prend au point de coordonnées x,, 

 j,, S|, on sait que ces valeurs sont représentées en fonction des valeurs 

 de la fonction sur la sphère de rayon R avec centre à l'origine, par les 

 formules classiques 



(t) Y„ = ± f f V sine (^9 4, 



'0 



R2 ■ 



VsinfJ(/9(/J/. 



(R2_2R7-cosY + V-)^ 



» Après ce que nous avons démontré dans une Note précédente (^ ' ), la 

 fonction V doit varier dans tout l'espace entre l'infini négatif et l'infini 

 positif. 



M Admettons que le produit VR~", n étant un nombre entier et po- 

 sitif, devienne, pour des valeurs toujours croissantes de R, moindre que 

 toute quantité donnée dans le champ oîi V est positive, et dénotons par I,,, 

 Ip les deux intégrales dans lesquelles se décompose le second membre de 

 la formule (i). Supposons, pour fixer les idées, que l'indice a. appartienne 

 à l'intégrale où la fonction V est positive, nous aurons 



V„R-"=I„R-«-IpR-", 



et en vertu de l'hypothèse admise on doit avoir 



hmIpR-« = o. 



» Cela posé, soit t une quantité aussi petite que l'on veut, mais fixe, et 

 soient p,, p^ les parties de surface sphérique dans lesquelles se décompose 

 la surface P; p, étant la partie de surface correspondante aux valeurs de 

 VR~" inférieures et égales à i, et p^ la partie de surface où la fonction VR"" 

 est toujours plus grande que £. 



)) Les deux surfaces p, et Po varient évidemment en variant R et les deux 

 intégrales correspondantes : Ip, , Ip^ doivent respectivement tendre vers zéro 

 pour R croissant. Or la partie des surfaces sphériques pj peut, quand R 

 augmente indéfiniment et £ reste fixe, tendre vers zéro, ou rester toujours 



{^) Comptes rendus, 1892. 



