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comprise entre deux limites positives fixes, différentes de zéro et pas coïn- 

 cidentes. Dans la première hypothèse, il est évident, pour la continuité, 

 que la fonction RV"", quand R croît indéfiniment, se maintiendra toujours 

 plus petite qu'une quantité 5 petite à volonté. 



» En admettant la seconde hvpothèse, on aura, pour des valeurs tou- 

 jours croissantes de R, 



IpR-"<ï TTsinÔrf^^ç, 



puisque par l'hypothèse admise 



£ rr sine a f/o>o, d'où T /^(^'R"" - s) siiiO ^r/o < o, 



ce qui forme une contradiction avec ce que nous avons admis, d'où nous 

 pouvons affirmer : 



» Lemme I. — Une fonction harmonique continue entons tes points à distance 

 finie ne peut tendre vers l'infini positif et vers l'infini négatif d'une manière 

 dij/crente. 



» Indiquant à présent pour P'"' la fonction sphérique de l'ordre n, l'in- 

 tégrale (2), à l'aide d'un développement connu, donne lieu à la formule 

 connue, 



pour 



y- = — cosO, cosy - cosOcosO' + sinG sinO'cos('^ — <\i''). 



» Admettons que l'on ait 



lim 



R = ■« 



H"'-» 



o, 



et décomposons le second membre de la formule (2) en deux parties, on a, 

 puisque le premier membre ne dépend pas de la valeur de R, 



(3) 



V. =1-1 2-^' (0"/ ^'tf vp'"'^o-n4 



11=0 10 



» Mais, par l'hypothèse faite sur le rapport t— p, et puisque P'"'(cosy) < r , 

 on en tire qu'il est toujours possible de choisir, pour une valeur détci'- 



