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minée de e petite à volonté, une valeur de g telle que l'on ait pour toutes 

 les valeurs de R qui satisfont à l'inégalité R >^ : 



D'autre part, R étant arbitrairement grand, on peut rendre la série 



2 ( a « + 1 ) /■" 



convergente et, par suite, 



''"^ i ^- (ïï)" r'd,,. f"vp(«)(cosy) 4 = o. 



En considérant la première partie de la somme (3) et en y substituant pour 

 P^'^'(cosy) le développement connu 



n 



p(")(cosy) = 2(- iX«:.'"[g:;(9,?)g:(o,, .p,) + SXO, ?)SX9,, ?.)]. 



.■=0 



oili les fonctions G et S sont, comme on sait, des fonctions entières de 

 degré n de cosO, sinOcoscp, sinOsincp et a" des constantes numériques, et 

 représentant par A„ et B„ des constantes dont l'expression s'obtiendrait 

 sans peine, on a 



Mais les produits /■"G"(0| , o, ), a"S"(0| , ©,) sont des fonctions entières de 

 degré n; donc nous pouvons affirmer : 



» TiEMME II. — si une fonction harmonique est telle que son rapport à une 

 puissance entière et positive du rayon vecteur a pour limite zéro quand le rayon 

 vecteur augmente indéfiniment, la fonction se réduit à un polynôme. 



M Les deux lemmes sont suffisants pour démontrer le théorème suivant : 

 M Théorème. — Si une fonction harmonique est telle que son rapport à une 

 puissance entière et positive du rayon vecteur ne varie pas entre l'infini négatif 

 et l'infini positif quand le rayon vecteur croît au delà de toute limite, la fonc- 

 tion doit nécessairement se réduire à un polynôme . » 



G. R., 1894, 1" Semestre. (T. CXVIII, N" 7.) 4^ 



