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k étant une constante, et k{x) une fonction continue que je supposerai 

 positive clans un certain intervalle {a, h). 



» On démontre d'abord facilement que les valeurs de k, pour lesquelles 

 cette équation a une intégrale continue, ainsi que sa dérivée première, 

 dans (a, b), et s'annulant pour x — aQ\.x = b (sans être identiquement 

 nulle), forment une suite discontinue de valeurs positives 



( 2 ) A" , , A", , . . . , A"„ , 



yt„ augmentant indéfiniment avec n. Je me propose de montrer comment 

 on pourra, par une suite de calculs réguliers, obtenir les termes de cette suite 

 et les intégrales singulières correspondantes. 



» 2. Nous allons d'abord voir comment on peut retrouver, en se pla- 

 çant à un autre point de vue, les termes de la suite (2). J'envisage l'uité- 

 grale u de l'équation (i), qui, pour x = a, prend la valeur A, et, pour 

 07 = b, la valeur B, en désionant par A et B deux quantités numériques 

 arbitraires. Nous regarderons l'intégrale u comme fonction de k; cette 

 fonction de k sera uniforme dans tout le plan de la variable complexe k. 

 Elle aura des points singuliers qui seront précisément les termes de la 



suite (2). 



» Il importe de rechercher la nature de ces singularités. Nous allons 

 montrer que les points ki sont des pôles simples de u. Ecrivons l'équa- 

 tion 



(3) g-H>^-.A(.)y=o. 



» Elle admet une intégrale y,, s'annulant en a et b, et soit Yj une se- 

 conde intégrale distincte de la première. Soit maintenant l'équation 



Y. étant une quantité petite. Il est aisé de voir (pie l'équation (4) admettra 

 deux intégrales voisines de Vo et Y„, et prenant respectivement les mêmes 

 valeurs pour x - a. Ces intégrales peuvent, de plus, être développées 

 suivant les puissances de jj. ; on a ainsi 



j = r„ -+- V-, v. -)- .. ., Y = Yo -f- Y, [^. -I- ... , 



j,, J.J, ..., Y,, Y2, ... s'annulant nécessairement pour x — a. 



)) Une intégrale de (4) est de la forme ocy + pY. Cherchons à déter- 

 miner les constantes a et p, de manière que cette intégrale prenne pour a 



