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 et h les valeurs A et B. On a les deux équations 



(î Y„(a) = A, oc[ v,'(i)a 4-...] + ^h[Yo(6) +...] = B. 



» On voit donc que p est une constante par rapport à a, et que a admet 

 le pôle [j. = o. Ce pôle sera simple, si l'on a j, (6) 7= o. Or nous allons éta- 

 blir qu'il en est bien ainsi; on a les deux équations 



g,«+/c,A(a;)j„==o. 



y g s'annule en a et b, et j, s'annule en a. Or, des deux équations précé- 

 dentes, on conclut 



la première intégrale s'effectue immédiatement; elle serait nulle si j,(6) 

 était nul, et l'on serait alors conduit à une absurdité. Nous arrivons donc 

 à la conclusion que A-, est un pôle simple de la fonction a. 



» 3. Ceci posé, j'arrive au calcul des quantités /?-,. Tant que k sera infé- 

 rieur à /(■, , on aura pour u le développement 



(5) U'—Ua + u,k+ . . -h M„A-"-+-. . ., 



iig prenant en a el b les valeurs A et B et les autres 11 s'annulant aux deux 

 extrémités de Tintervalie (a, b). Ces divers coefficients sont des fonctions 

 de X que l'on peut calculer de proche en proche. Formons les constantes 



r'' 



U„=/ u^(x)u„(x)A(x)dx. 



» Elles sont positives, et l'on a les inégahtés 

 U, ^ U3 ^ ^ V,. ^ 



» De plus, on démontre que la série (5) et la série 

 U„ + U,/t + ...+ U„/î;"-h... 

 ont nécessairement même cercle de convergence; on en conclut sans 



