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 peine 



linij-j — = 77" (pour « = ce). 



» La première valeur singulière A, est ainsi déterminée par un calcul régulier. 

 » 4. Nous allons maintcnanl calculer /c.,. Puisque /•, est un pôle simple 

 de u, nous pouvons écrire 



(G) u — — ^ + ('„ -hv,/i + ... + \'„k" + . . . , 



la série du second membre étant convergente jusqu'à /• = X^. La compa- 

 raison des développements ( )) et (6) donne de suite 



«'^ lim(«,^ /•',') : 



u' peut donc être regardé comme connu et par suite les <,'. Nous formerons 

 alors la suite des quantités 



V„= / i\{x)v„{x)k{x)clx. 



» Le rappoi t rr-^ tendra vers une limite pour n -— ce, et l'on aura 

 ' «—1 



lim^:^l. 



Nous calculons donc ainsi la seconde valeur singulière k^. 

 » 5. On peut continuer ainsi indéfiniment. Oa aura 



,,' 

 Vo + (', >t -1- . . + vjc" -f- . . . = j +- Wf, + ir, k+ ...+ w,^k" -t- . . . , 



la série du second membre étant convergente jusqu'à k == k.^. On obtien- 

 dra v' par la formule 



v' = iim(i'„ /{■;;) 



n =oc 



et les constantes 



^n= j ^\\{x)w„{x)k{x)dx 



conduiront à la troisième valeur /■., et ainsi de suite. 



» Nous a\()ns donc bien obtenu le résultat que nous avions en vue. Les 

 valeurs singulières X/ peuvent cire obtenues de |)roche en proche par un 



