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calcul régulier, ainsique les intégrales singulières correspondant à ces valeurs 

 singulières. » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur certains développements en séries, que Ton 

 rencontre dans la théorie de la propagation de la chaleur. Note M. H. Poin- 



CARÉ. 



« On sait que le problème du refroidissement d'un corps solide de 

 forme quelconque peut être considéré comme résolu quand on sait : 



M i" P^ormer les fonctions fondamentales U„ qui satisfont aux conditions 

 suivantes : 



AU„+ ji„U„ = o à l'intérieur du corps, 



—r^ + AU,, = o à la surface. 



an ' 



» Les lettres X„ et A désignent des constantes; la seconde constante A 

 est la même pour toutes les fonctions fondamentales et dépend du pouvoir 

 émissif du corps. Enfin, dn représente une longueur infiniment petite 

 comptée sur la normale à la surface du corps. 



» 2° Démontrer qu'une fonction arbitraire V peut être développée en 

 série procédant suivant les fonctions fondamentales, sous la forme 



V= A,U, + A,U, + ...+ A„U„4-..., 



les coefficients A, étant des constantes. 



» J'ai eu moi-même l'occasion d'insister sur ces points dans diverses 

 Communications que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie, et dans un 

 Mémoire inséré au tome XII de V American Journal of Mathematics. 



» Dans le cas du cylindre de révolution, Fourier a montré que les 

 fonctions fondamentales se ramènent aux fonctions de Bessel et il en est 

 encore de même dans le cas de la sphère, à la condition d'introduire les 

 fonctions de Bessel d'indice fractionnaire. 



» Considérons donc la fonction ç définie de la manière suivante : 



i-o^M-; 



xV^ 



?(^)-2r([3 + i)r(p + /. + .) 

 » Cette fonction n'est autre chose que la fonction de Bessel J„(^) mul- 



