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 n On peut démontrer que, sur ces cercles, le rapport de S à ^ reste li- 

 mité. La démonstration exige des calculs longs mais sans difficulté. 

 » Il en résulte que, si je désigne par J^ l'intégrale 



J'Sldl 



prise le long du cercle C^,, on aura 



limJ/, = 2«':tV (poarp—yo). 



Cela montre que V est égal à la somme des résidus de la fonction S^. 



» Or, les pcMes de la fonction S sont les racines de l'équation = o, 

 c'est-à-dire que, pour un pôle, l, = [jt,, [j. étant défini par l'équation (2). 



» Le résidu correspondant de S^ est égal à 



-K^^)?^/''^- 



» Dans B bien entendu, ç est remplacé par ;/. Ce résidu est donc égal 

 à <f{iJ.r) multiplié par une constante indépendante de r. 



» La fonction V se trouve ainsi développée sous la forme voulue. 



» Une dernière remarque. Le raisonnement précédent pourrait se trou- 

 ver en défaut si "V devenait infini pour r=o. Or voyons comment nous 

 formons la fonction V dans le cas du refroidissement de la sphère par 

 exemple. Soit W la température initiale, qui sera une fonction arbitraire 

 de X, y et z, ou, ce qui revient au même, de r, et w en posant 



X- = rsinScosto, jk = ^sinOsinto, ^ = rcosG, 



W pourra se développer par la formule de Laplace en une série de la 

 forme 



X étant une fonction sphérique d'ordre n — ^^. On pourrait craindre que V 

 ne devienne infini pour r = o, mais cela ne se présentera pas si je suppose 

 que W est holomorphe en x,y, z dans le voisinage immédiat du centre de 

 la sphère, cette fonction demeurant d'ailleurs arbitraire dans le reste de 

 la sphère. 



» La même observation s'applique au cas du cylindre. » 



C. R., 1894, i" Semestre. (T. CXVIII, N- 8.) 5l 



