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 tient à la surface covariante relalive à S et 2 



T = a(ft -+- c -t- d).v- -+- b(a + c -+- d) y^ 



+ c(a ■+-!)-+- f/)z'- ■+- d(n +b + c)t- = o; 



il appartient de même à l;i surface analogue relative à S' et 1 



T', = (bc -\- bd ■+- cd) x- + [ad -^- ac -^ cd) y- 



+ {ab -\- ad+ bd)z^ + {ab + ac + bc)t- = o. 



Comme on a T -l- T', = <1>1, il ne peut y avoir de point A, en dehors de 1 

 que si <ï> = o.. 



» Il faut de plus que le plan A^ A3 A^ coupe T' et i suivant deux coni- 

 ques capables d'un triangle inscrit dans l'ui.e et circonscrit à l'autre, 

 ce qui donne comme nouveau lieu du point A, la surface du quatrième 



ordre 



W = i'-4SS' = o. 



» Le lieu des sommets des lélraèdres est la courbe Y du huitième ordre 

 intersection des surfaces T' et W, car réciproquement tout point de cette 

 courbe est le sommet d'un tétraèdre et d'un seul. 



M On vérifie, en effet, que si l'on prend un point A, de la courbe Y, le 

 plan polaire de ce point par rapport à 2 coupe les cônes C,, C, circonscrits 

 à S et S', la surface T' et la surface W suivant des courbes ayant trois 

 points communs; ce seront les sommets Ao, A3, A,. 



» p, étant un paramètre variable, les coordonnées de A, s'obtiendront 



en résolvant les équations 2 + 23, S' = o, i + ^ S = o, T' = o; les para- 

 mètres P2, P3, p/, des autres sommets sont les racines de l'équation bicu- 

 bique symétrique 



(0 /(?. p.) = VpK? + ?, ) + 20 p»p; + 20''p?. + A'(p + f . ) = O' 



de sorte que les éléments du tétraèdre sont des fonctions algébriques de p, . 

 La relation précédente est de genre deux; une transformation Cremona la 



ramène à 



i = + X(X-a=)(X -6=)(X-c-)(X-(/-) = o. 



>■) Les coordonnées X, Y des points de cette courbe byperelliptique s'ex- 

 priment en fonction hyperelliptique de deux paramètres «,, lu reliés par 

 l'équation S^o:i("i' "2) = o» et les éléments des tétraèdres s'expriment par 

 des fonctions hyperelliptiques de «, cl u-.- 



