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 » On peut fléduire delà que, si l'on a p,^=F(n,,Uo), la relation (i) 

 s'obtient en éliminant w,, u^ entre p, = F(;/,, w^ ), p^F( — //,, — «,)> 

 ^02(2/,, lu) = o; c'est la généralisation de cette remarque développée par 

 Halphen, à propos des polygones de Poncelet, que tonte relation biqua- 

 dratique symétrique entre p et p, s'obtient en éliminant u entre çi=/Çu'), 

 p, =/(" -+- Ug), oùy est une fonction elliptique particulière. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur une dégénérescence du groupe projeciif général. 

 Note de M. F. Excel, présentée par M. Picard. 



« Le groupe projectif général est-il susceptible de dégénérescence ? 

 Question étrange au premier abord, mais qui pourtant a un sens bien 

 déterminé. Je me propose de démontrer comment cette circonstance peut 

 se présenter. 



» Commençons par le groupe projectif général du plan. Comme groupe 

 de transformations ponctuelles, il n'est capable d'aucune dégénérescence; 

 mais, d'après M. Lie, il peut être regardé aussi comme groupe de trans- 

 formations de contact, et alors il en est autrement. 



» Sous ce nouveau point de vue, le groupe projectif laisse invariantes 



deux équations différentielles du second ordre, savoir : y"= o et — = o, 



1 . y 



dont une définit les co- droites et l'autre les 00- points du plan. Par la 

 transformation de contact : 



y^ = h-^h(''^'-~'^y-y"^' y^ 



a: -+-/ 



les équations différentielles citées prennent la forme y'[ =: ^ j et y[ ^-{- i, 

 et en même temps le groupe projectif général du plan se change en un 

 groupe de transformations de contact, dont les transformations iniinitési- 

 males ont les fonctions caractéristiques suivantes : 



I , .r, , I-, , X- +,v',-, y, — t; J^.r, . 

 (2) j a-,(a;;-f- y';)- 4y,( V, -^a;,./,), }\(x;-hy]) -+- ftx,{y, - ',x,y\), 



» Ce groupe est réel et est doué de la propriété d'être irréductible dans 

 le sens de M. Lie, quand ou applique sa notion d'irréductibilité aux 

 groupes réels de Iraiisformalions de contact; cela veut dire que le 



