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(^où k est une constante) dans un grand nombre de questions de Physique 

 mathématique. Le pas le ])lus important qui ait été fait dans l'étude de cette 

 équation est dû à M. Schwarz I^Festschrift zum Jubelgeburtstage des Herrn 

 Weierstrass). Ses résultats ont été complétés par notre Confrère, M. Picard, 

 dans une Note insérée aux Comptes rendus du i6 octobre i8c)3. J'ai eu moi- 

 même l'occasion de m'en occuper dans un Mémoire publié dans le t. XII 

 de V American Journal of Mal/temadcs. Il me semble qu'une lumière nou- 

 velle peut sortir du rapprochement des résultats obtenus ainsi dans des 

 voies différentes : c'est ce que je vais chercher à expliquer brièvement. 



» Soit, dans l'espace, un domaine quelconque D dont la frontière sera 

 constituée par une certaine surface 1. Soit dz un élément de volume de ce 

 domaine. Soient/" une fonction quelconque définie ii l'intérieur de ce do- 

 maine et ^ une constante arbitraire. Cherchons à former une fonction v 

 satisfaisant à l'équation 



(i) A('+^r + /=o 



à l'intérieur de D et s'annulant à la frontière. 



» Cherchons, à l'exemple de M. Schwarz, à développer v suivant les 

 puissances de ^ et posons 



(2) >= r„-i- v,l-h ('a;=-l-.. .. 



Nous aurons, pour déterminer les ç^ (qui doivent s'annuler à la frontière), 

 la suite d'équations 



(3) A('o-f-/=o, At',-+, + (^, = 0. 

 Formons les intégrales de M. Schwarz 



W,„.„-J v.„^„dt, ^ ">■■'--] [^ij 7Z? -+- 7/7 ^ + rfF -dT) '^■' 



étendues à tous les éléments d-v du domaine D. 



» Bien que les fonctions i>„ ne soient pas toujours positives, les pro- 

 priétés de ces intégrales subsistent, et l'on a 



W_ Y — W — W 



en écrivant, pour abréger, W„^.„ au lieti de Wo.,„+,j. 



» De plus, ces intégrales sont toutes positives, et l'on a 



(4) w;<w^<w;<-- 



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