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Enfin on peut trouver un nombre Q ne dépendant que du domaine D et 

 tel que l'on ait 



kJ<Q\/w,„_2. 



Il résulte de là que, si 



la série (2) convergera uniformément pour 



et satisfera à la question. 



)) Pour aller plus loin, j'invoquerai un théorème que j'ai démontré dans 

 V American Joui nal of Malhematics (t. XII, p. 253 à aSg). 



)) Soit 



© ^ a, ©, + a., cp» + . . .-I- v-p'Op, 



■ . A=/r-. -/P)V(|)V(S)V^. 



On peut toujours (quelles que soient les fonctions <p,) choisir les coeffi- 

 cients a de telle façon que le rapport 



B 

 A 



soit plus grand qu'un nombre positif /^ qui ne dépend que du domaine D 

 et du nombre entier/? et qui croît définitivement avec/). 

 » Faisons alors 



/ = ^-i/. + «2/. + . ■ . + 'j-pfp ; 

 d'où 



Nous pourrons alors choisir les a de telle façon que 



^n.n '»2„_i 



w„.„ ~ w,„ 



» Considérons les coefficients oc comme les coordonnées homogènes 

 d'un point dans l'espace k p — i dimensions; nous pouvons choisir ce 

 point de telle sorte que 



w„^ w, ^•••^ w,„_, ^ // 



» Si ce point satisfait à cette condition, il appartiendra à un certain do- 

 maine S„; le domaine S„_n sera intérieur à S„; donc tous les domaines S„ 



