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» Il est bien évident que ce dernier intervalle sera, dans certains cas, 

 plus large que l'intervalle ( — h, • + /'i)- 



» 2. Le champ de convergence de la série (3) est, en général, limité. 

 On peut cependant indiquer des cas assez étendus oîi cette série sera tou- 

 jours convergente. Alors l'intégrale restera finie et, ce qui nous intéresse 

 le plus, sera représentée par un même développement pour toute valeur 

 de x. C'est ce qui aura lieu dans les deux cas suivants. 



» (a). La fonction /(.r,j') est continue dans tout le plan, et l'on peut 

 déterminer, pour la partie du plan comprise entre deuxdroites quelconques 

 parallèles à l'axe des y, un nombre X- tel que l'inégalité (2) ait lieu (le 

 nombre k pouvant, d'ailleurs, tendre vers l'infini). Soit, par exemple, 

 l'équation 



^ = A(^) + B(.r),r 4- C(.r)-^, 



A(a-), B(^r), C{a;) étant des fonctions quelconques continues pour toute 

 valeur de x. 



• » (b). La fonction /(a;, y) est continue dans tout le plan: il existe un 

 nombre /c relatif à un domaine fini quelconque; dans la bande limitée par 

 deux parallèles quelconques à l'axe des y, le module de /(.r, y) reste 

 inférieur à un nombre fixe. 



» 3. Considérons maintenant le cas suivant. Soit/(,r, j) une fimction 

 continue et positive pour x >» o, y > o, et supposons que, pour une valeur 

 quelconque .r, de x, on puisse trouver une valeur y, telle que, dans le 

 triangle formé par les droites 



(5) v = o, ,r = ,-r,, Y=~x, 



on ait /(j-. 1') < — • D'ailleurs, à tout domaine fini il correspondra un 



nombre k. Ces conditions supposées remplies, la série (3) sera convergente 

 pour toute valeur positive de x et représentera l'intégrale de (r) s'anniilant 

 pour X = o. 



» Considérons comme application l'équation suivante 



( ( ) ) -7- = C H ; r ) 



^ -' (Ix a -H .r- 



où C et a sont des constantes positives. Dans le triangle formé par les 

 droites (5), le second membre a pour valeur maxima, en posant ^— ^ a, 



a 

 x] 



