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et que chacune de ces régions soit limitée par un polvgone curviligne 

 formé d'un nombre fini d'arcs de courbes analytiques; supposons que dans 

 chacune de ces régions la fonction arbitraire V à développer soit ana- 

 lytique, mais qu'elle éprouve des discontinuités quelconques, quoique en 

 restant finie, quand on passe d'une région à l'autre. Elle peut même être 

 étendue à des cas plus généraux sur lesquels je reviendrai plus loin, mais 

 que je laisse de côté pour le moment. 



)) Je ferai la même hypothèse; car le but de cette Note n'est pas de gé- 

 néraliser la démonstration de Dirichlet, mais de la présenter sous une 

 forme nouvelle qui me paraît plus simple. 



» Soit donc une sphère S de centre O et de rayon i ; passons aux coor- 

 données polaires en posant 



ic = /•sinôcosç, V ^ /'sinO sino, z =^ rcos<h 



» Soit sur cette sphère un élément de surface du)' avant pour centre de 

 gravité un point M' dont les coordonnées rectangulaires sont ce' , y' , z' et 

 les coordonnées polaires i, 0' et (p'. 



» Soit à l'intérieur de la sphère un point M dont les coordonnées rec- 

 tangidaires sont x,y, z et les coordonnées polaires r, et (p. 



» Soit V la fonction à développer qui deviendra V quand on y chan- 

 gera et cp en 0' et cp'. 



» Soit p la distance MM' et y l'angle MOM' de sorte que 



cosy = cos6 cos9' + sinO sinô' cos(o — (p'), 

 p* ^ 1 — 2) 



» Introduisons la fonction 



p* ^ 1 — 2rcosy 4- z'^. 



W 



=/ 





l'intégration étant étendue à tous les éléments dv) de la sphère. 



» On sait que cette fonction satisfait à l'équation de Laplace, qu'elle 

 tend vers V quand r tend vers i; que quand le module de r est plus petit 

 que I elle est développable en série convergente sous la forme 



(i) W = 2X„/-". 



» Il s'agit de savoir si cette série converge encore pour r= i et si elle 

 représente alors V. 



» Je vais regarder et cp comme des constantes et /comme une variable 



