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 à laquelle je donnerai des valeurs réelles on imaginaires. Si et cp sont des 

 constantes, la droite OIVI est fixe; j'appelle p l'angle du plan MOM' avec 

 un plan fixe passant par OM. Alors V peut être regardé comme fonction 

 de y et de (3, et l'on a 



f/co'^ sinyc/y dfj. 

 » Posons 



F(t)= rVr/p; 



1» \ 

 ou 



4.W=f'^F(y)(i-.^)^-^rfy. 



» On voit d'abord que F (y) est une fonction continue; il n'y a d'excep- 

 tion que si le contour de l'une des régions R comprend un arc du petit 

 cercle y = y„. Dans ce cas F(y) est discontinue pour y = y„. De plus F(y) 

 a une dérivée finie, sauf pour les valeurs singulières y,, y^, . . ., qui sont 

 telles que le petit cercle y = y, est tangent au contour de l'une des ré- 

 gions R. Pour ces valeurs singulières, qui d'après nos hypothèses sont 



en nombre fini, la dérivée F'(y) est infinie, généralement d'ordre-; 



d'ordre si le contact est d'ordre p — i . 



P ^ 



» L'intégration par parties nous donne 



(.) /,.W=-F(y)^^i+/F'(y)-^f 



» Il s'agit de savoir ce que devient cette expression quand le module 

 de r tendant vers l'unité, r tend vers e"''; on trouve alors 



p = e- y/o(^cosi|/ — cosy). 



» Le signe du radical est toujours parfaitement défini, puisqu'on sait 

 qu'on doit faire tendre le module de r vers l'unité par valeurs plus petites 

 que I. 



» On voit alors que W reste fini quand ± •^ n'est pas égal à l'une des 

 valeurs singulières y, qui rendent F'(y) infini. Si J/ = ±y^, W devient 



infini, en général logarithmiquement, d'ordre ^~ ^ si le cercle y — y, a un 



contact d'ordre p — i avec le contour d'une des régions R, d'ordre j si la 

 fonction F (y) est discontinue. 



C. R., i8;i4, 1" Semestre. (T. CXVIII, N" 10.) 65 



