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 » Dans tous les cas, et c'est là le point essentiel, l'intégrale 



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reste finie. 



» D'autre part, si '^i est compris entre iig etij/,, et que dans cet inter- 

 valle ne se trouve aucune des valeurs singulières ± y,, si r =: [rje''^ et que \r\ 

 tende vers l'unité, la fonction W tendra uniformément vers sa limite, ce 

 qui prouve que l'intégrale 



(3) / 



Wr^"dr 



prise le long du cercle de ravon r est la limite vers laquelle tend cette 

 même intégrale prise le long d'un cercle de rayon r<C, i, lorsque r tend 

 vers I, et, par conséquent, en vertu du théorème de Cauchy, que ces deux 

 intégrales sont égales. 



» Cela posé, il s'agit de savoir si la fonction W peut être représentée 

 pour p = e"^, c'est-à-dire, sur le cercle de rayon i, par la série de Fourier. 

 Il est clair qu'il en est ainsi, car l'intégrale de Dirichlet 



/ 



• — i ^+ 



sin 



conserve sa propriété caractéristique, qui est de tendre vers la valeur de W 

 pour (]/ = a quand n croît indéfiniment. Ainsi W est développable par la 

 série de Fourier, elles coefficients sont les mêmes que ceux de la série (i), 

 puisqu'ils sont les uns et les autres exprimés à l'aide de l'intégrale (3). 

 » On a donc pour r = e"^ 



et pour r = i 



Y = 1X„. c. 0. F. D. 



M Bien que présentée sous une forme notablement plus simple, celte 

 démonstration ne diffère pas essentiellement de celle de Dirichlet; elle 

 s'applique donc, comme celle-ci, à des cas fort étendus. 



» Pour qu'elle ne soit pas en défaut, il suffit que l'intégrale 



f\W\d^ 



