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CORRESPONDANCE. 



M. E. Barvakd, m. Gr. Groum-Grschimailo adressent leurs remercî- 

 ments à l'Académie, pour les distinctions accordées à leurs travaux. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales abéliennes qui s' expriment 

 par des logarithmes. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Appell. 



« Soient F (:c, y')= o l'équation d'une courbe algébrique de genre p, et 

 R(a:, j) une fonction rationnelle de x et de y. Abel a démontré que, si l'in- 

 tégrale I = / R(a;, j) (fe s'exprime par une somme d'un nombre fini de 

 logarithmes de fonctions algébriques, elle est nécessairement de la forme 



/ R(a7, y) dx = Alogu -+- B logt' +. ..+ Llog^, 



A, B, ..., L étant des constantes et a, i^, ...,t des fonctions rationnelles 

 de X et de j. La fonction rationnelle ï{(x,y) étant donnée, le problème 



de reconnaître a priori si l'intégrale / R(x,y)dx peut s'exprimer de cette 



façon est très difficile, mais on peut décomposer ce problème en plusieurs 

 autres. On voit d'abord aisément que cette intégrale ne peut admettre, 

 comme singularités, que des poinis critiques logarithmiques. Supposons, 

 pour simplifier les notations, que ces points critiques a,, a.,, ..., a„ sont à 

 distance finie et distincts des points de ramification; dans le domaine du 

 point a,, l'intégrale doit être de la forme 



/ K{x, y) dx = Ai\og(x — ai)-{- x„ + a, (x — a/) ^- (/.^(x — a,)^H-.... 



Ces conditions étant supposées remplies, les coefficients A,, Ao, ..., A„ vé- 

 rifient la relation 



(0 A. 



o; 



il peut arriver que ces coefficients vérifient un certain nombre d'autres 

 relations linéaires et homogènes à coefficients entiers, telles que 



(2) /n, A, -f-//23A2+...+ /?2„A„= o. 



)) Soit q le nombre des relations distinctes de cette espèce, y compris 



C. R., 1894, I" Semestre. (T. CXVIII, N° 10.) 67 



