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l'équation (i). Alors les coefficients A,, ..., A„ peuvent s'exprimer au 

 moven de s = n — q quantités ct,, Wo. . .., ct^ de la façon suivante 



(3) 



A, = m, , cj, +...-^- «7,.| CT^, 

 A, = w 1 2 f^i + - ■ . H- fn,2 cTj, 



•• 1 



A„ = /«,„ rr, + . , . + m„, CT, : 



tons les nombres 7?Z/A sont entiers, et il n'existe entre cr,, CTj, ..., w^ ancnne 

 relation linéaire et homogène à coefricients entiers. Cela pnsé,S! l'inlcffrale 



I R(j*, y) ^.r s'exprime au moyen d'un nombre //ni r/e logarithmes, elle peut 



s' exprimer au moyen de s logarithmes seulement 



R(£r, j) r/j7 --n B, logi]/, -h... H- B,log(j/„ 



/' 



et ne peut pas s'exprimer au moyen de moins de s logarithmes. On remar- 

 quera que ce nombre minimum s ne dépend que des coefficients A,, 

 A„...,A„. 



« Pour achever le problème, il faudrait déterminer les fonctions ration- 

 nelles A,, d/,, . . ., '|,. On est ainsi amené à résoudre la question suivante : 

 Étant donnés sur la surface de Riemann q points analytiques (^a,, h,), ..., 

 («7> f>g)' cf Ç nombres entiers n,, n.^, .. ., n^, dont la somme est nulle, eriste- 

 t-il une fonction rationnelle <h(x,y) et un nombre entier'M, tels que \oo^(x,y) 

 soit régulier en tous les points de la surface de Riemann, sauf aux points 

 ((7,, />,), .. ., (o^, b^) et soit infini comme M/2,log(3 — a,) dans le domaine 

 du point («,-, bi)'] 



)) Si l'on connaissait le nombre entier M, on du moins une limite pour 

 ce nombre entier, la question ne présenterait que des difficultés algé- 

 briques; on aurait à faire un ou plusieurs essais pour reconnaître s'il existe 

 une fonction rationnelle i/(^x,y') admettant des |)ùles et des zéros donnés, 

 avec des ordres de multiplicité déterminés. Mais il ne semble pas possible, 

 au moins dans le cas général, de trouver une limite pour ce nombre, ni 

 par suite de résoudre le problème par des opérations dont la fin soit assu- 

 rée. C'est la conclusion à laquelle s'est arrêté Halphen pour les intégrales 

 pseudo-ellipti(pies (^Fonctions elliptiques, t. II, p. 648). 



Pour donner un exemple des considérations qui précédent, reprenons 



un problème traité par Abel : Trouver toutes les intégrales / —=-, où H et p 



sont deux polynômes, qui s'expriment par une somme d'un nombre fini de lo- 

 garithmes de fonctions algébriques. 



