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 où le nombre P„ , se trouve à la rencontre de la colonne de rang s avec la 

 ligne de rang n — i . 



» C'est ce triangle que j'ai appelé le triangle des séquences. En l'étudiant 

 successivement dans ses colonnes, dans ses lignes et dans son ensemble, 

 j'ai trouvé des propositions nombreuses, peut-être intéressantes, dont je 

 vais énoncer les principales. 



» 2. Considérons d'abord les colonnes du triangle, et lions entre eux 



les nombres 



P P P 



qui composent celle de rang 5, par la série entière 



» I. Cette série est convergente toutes les /ois que z, en t^aleur absolue, est 

 inférieur à F inverse de s. 



» II. La somme Y ^ de cette série satisjait à l'équation aux différences 

 mêlées 



)) III. Cette somme Y s est une fraction rationnelle, dans laquelle le degré 

 du dénominateur dépasse toujours de s unités celui du numérateur. 

 » IV. Si Von pose 



F.._.. =[i - .] [i - 3.] [, _ 5.] . . . [. - (2. - i).], 



F,, =[l-2s][l-4s][l-6^]...[l-(2,7) -]. 



le dénominateur D^ de cette fraction est donné par la formule 



D, = F,F,F3...lV 



» V. Les nombres composant la colonne de rangs forment une série récur- 

 rente proprement dite, dont V ordre est égal à cr(G + i) ou à a', suivant que s 

 est égal à 2G ou à :i<j — I. 



» 3. Considérons maintenant les lignes du triangle; lions entre eux les 



nombres 



P T» P P 



' «,l > ' «,2) "^ «,3> • • •» * n,n—\ ' 



qui composent la (« — i)"'"'^, par le polynôme 



et désignons ce polvnome par II„(.r), ou, plus simplement, par H„. 

 » VI. Ce polynôme satisfait à l'équation aux différences mêlées 



H„= [1-4- 2a: + {n - 3)a;^]H„_, + {x - x')'^. 



