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» VII. Véqualion 



H„(a.) = o 



est du degré n — 2. Si l'on désigne par v la partie entière de la moitié de n, 

 cette équation admet v — i fois la racine — i; et ses n — ^ — i autres racines 

 sont réelles, simples et comprises entre — leto, 



» VIII. Les dérivées d'ordre v — i des deux polynômes consécutifs Hjv et 

 H^v+i prennent toujours, pour ,^■ = — i , des valeurs égales et de signes con- 

 traires. 



» IX. Dans les permutations des n premiers nombres, si l'on désigne par [j.^ 

 la valeur moyenne du nombre des séquences d'une permutation, on a identique- 

 ment, pour toute valeur de n, 



(x„ in — I _ 



n 



3, 



et le rapport de [l^ à n tend vers la limite | lorsque n croît indéfiniment. 



» X. Dans les permutations des n premiers nombres, si l'on désigne par M„ 

 la valeur moyenne du carré du nombre des séquences d'une permutation, on a 

 identiquement, pour toute valeur de n égale ou supérieure à 4. 



M„ [\on- — 24 rt — 19 



«^ 90 «^ 



et le rapport de M„ à n^ tend vers la limite \ lorsque n croît indéfiniment. 



)> XI. Dans les permutations des n premiers nombres, pour toute valeur de n 

 égale ou supérieure à 2 ^- + 4 . ^'-^ somme des puissances k"""'^' de tous les nombres 

 de séquences est la même pour les permutations de la seconde espèce que pour 

 celles de la première. 



» XII. Dans le système total formé par les permutations des 2 k -h 2 et celles 

 des ik + 3 premiers nombres, la somme des ^'<""'=* puissances des nombres de 

 séquences correspondant aux permutations de la seconde espèce est juste égale 

 à la somme des k^"^"^ puissances des nombres de séquences correspondant aux 

 permutations de la première. 



» 4. Considérons enfin l'ensemble du triangle, et relions-en tous les 

 termes par la série entière, à deux variables, 



H,(^) + ^ H3(.r) + f; H, (a,-) + "l! H,(x) + . . . . 



» XIII. Cette série est convergente pour toutes les valeurs de x et de y dont 

 les modules sont l'un et l'autre inférieurs à l'unité. 



