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 ou 



T _i2 (f' 



2a'; i = o, 



d'où l'on conclut que : 



» Si l'on applique à une équation E^ la transformation de M. Moutard 

 relative à une solution spéciale u, on obtient une équation E^^,. 



» Appliquons le théorème lorsque ^ = 4. 



» Toute équation harmonique E^ a des solutions spéciales parmi les- 

 quelles se trouvent les solutions harmoniques. L'équation transformée 

 est une équation E5. Mais, d'après un théorème de M. Darboux, les cinq 

 solutions dont la somme des carrés est nulle sont les coordonnées penta- 

 sphériques d'une surface isothermique rapportée à ses lignes de courbure. 



» La méthode précédente permet donc de déduire des équations harmo- 

 niques une classe de surfaces isothermiques qui paraissent nouvelles. 



» Les coordonnées ponctuelles d'un point sont 



Aj A2 A3 



A4 — a Aj — a A4 — a 



» L'élément linéaire est 



ds^^ ^. "'' ^, {d^^-df-). 



» Si l'on pose 





U étant une fonction de u, V une fonction de (^, les coordonnées a;, j, 3 d'un 

 point de l'une de ces surfaces isothermiques, rapportée aux lignes de lon- 

 gueur nulle, sont données par les formules : 



^ ^ du ov au ov 



\.y = i(v — m)t~^ M T^ r 



■' ^ ■'au Ov \au oc 



A.z = (Ui> — I ) 3 u^ — v-r- 



^ ^ (M av du ui' 



A = (m'-f- i)-r-| u-^ — v^ + œ 



^ -' au 01' au ai' ' 



avec 



» Le double signe conduit à deux surfaces inverses par rapport à 

 l'origine. 



» Dans cette classe de surfaces isothermiques on obtient toutes les sur- 



