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pose, bien entendu, que les valeurs âel,,7..,, ...,!„ sont arbitraires, comme 

 cela est dans ma Note, et comme les définit M. Painlevé lui-même, avec 

 cette différence que, chez moi, elles sont données, et il les regarde comme 

 inconnues. 



» Il avance ensuite que « les fonctions gt, g2^ • • • . g,, s'obtiennent algé- 

 » briquementen fonction des coefficients de P et Q ». Cela est inexact. Il 

 suffit, pour s'en convaincre, de faire l'inspection des résultats de ma Note 

 et de remarquer que les expressions de ces fonctions contiennent encore la 



quantité 1 p^dx, qui est arbitraire. 



» Plus loin (p. i32i), M. Painlevé énonce ce théorème : 



M Étant donnée l'équation (i), on peut toujours reconnaître, à l'aide d'un 

 nombre fini d'opérations rationnelles, si son intégrale est de la forme (i) (l'en- 

 tier n étant donné). En particulier, on sait toujours reconnaître si l'intégrale 

 se laisse mettre sous la forme de M. Korkine (A = i , >>, ^ X^> ^ . . . r^ \^ et, 

 quand il en est ainsi, celte intégrale s'obtient algébriquement. 



)) Quoique ce théorème n'ait aucun rapport avec mon problème, qui est 

 tout autre, il semble que c'est là encore un malentendu de l'auteur. 



» Enfin, je passe à une autre question, que l'auteur se propose, et qui 

 paraît avoir quelque rapport avec mon problème. Il dit : « Posons-nous main- 

 11 tenant le problème inverse : Former toutes les équations (i) dont les 

 )) coefficients soient, par exemple, rationnels en x, et dont l'intégrale se 

 » laisse mettre sous la forme (2). « Comme l'auteur prétend déduire la 

 résolution de mon problème, en résolvant celui-ci, je remarque d'abord 

 que je ne me borne point aux coefficients rationnels en x\ je les suppose au 

 contraire quelconques, de sorte que, si l'on avait même une solution véri- 

 table an problème proposé par M, Painlevé, on n'en déduirait pas encore 

 celle du mien. 



» Or M. Painlevé fait à sa question cette réponse : « Toutes les équa- 

 » tions (i) cherchées s'obtiennent par un des trois procédés suivants : 1° En 

 » dérivant l'égalité h(x). G, (j, xf', . .., Cj,„{y, xf-n = C, etc. » Quoique 

 l'auteur ne définisse point les polynômes G,, Go, . . ., G,„, il est évident que 

 la dernière égalité est une équation intégrale. L'idée de se servir de la dif- 

 férentiation des équations intégrales, pour en déduire des quantités incon- 

 nues, qui entrent en partie dans les équations différentielles et en partie 

 dans les équations intégrales, n'est point neuve. C'est de cette manière, 

 par exemple, qu'on détermine les forces en supposant connu le mouvement 



