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où les a, b sont des fonctions analytiques quelconques de x, i° reconnaître si 

 l'intégrale de cette équation est de la forme 



(2) /*(.r)[ j — g^{x)f'ly - g. {x)f: ...{y- g„{cc)f- = const., 



oàn est un entier donné, les \ des constantes numériques inconnues, h et les g 

 des fonctions inconnues de x; 1° déterminer h et les g en fonction des a, b. 



» La méthode que j'emploie repose sur cette remarque bien simple : 

 Quand l'intégrale de (i) est de la forme (2), le binôme V dx — Q</y admet 

 un dernier multiplicateur M(j', x), qui est le quotient, par le polynôme 

 {y ~ 5'<)---(j"~ o«)'^^'"" polynôme en y de degré /i— (5'+ i) au plus('). 



» S'il n'existe qu'un tel multiplicateur, les g{x) sont donnés algébriquement 

 en fonction des coefficients a, b de{i)\ h est donné par une quadrature loga- 

 rithmique. 



» S'il existe au moins deux tels multiplicateurs distincts, l'intégrale y {x) 

 de (i) prend au plus (2n ~ q — i) valeurs autour des points critiques mo- 

 biles. L'équation {1) se ramène alors algébriquement à une équation de Ric- 

 cati ; y \ér[{\e une relation de la forme 



H(y, a-) du „ „ 



H et R étant deux polynômes en y de degré v (v<2« — ^ ~ ')> dont les 

 coefficients, ainsi que a, (3, y dépendent rationnellement des coefficients a, b 

 de l'équation (i). 



» Si l'on restreint le problème précédent en supposant h égal à t, on a 

 ce théorème : 



)) Quand l'intégrale d'une équation (i) donnée est de la forme 



Vy - g^{^)f'---[y-8.Mf"=c, 



les g(x) s'obtiennent algébriquement ou par une ou par deux quadratures. Ils 

 n'exigent qu'une quadrature au plus si 1 f -h ... -\- 1,1 est nul, ou encore si l'on 

 apiq. 



» Quand, h étant quelconque, tous les \ sont distincts, les g s' obtiennent aU 

 gébriquement et h par une quadrature logarithmique, à moins que l'équa- 

 tion ( I ) ne soit précisément une équation de Riccati. Quand, h étant égal à i , 



(') Les mots soulignés ont été omis à l'impression dans ma Note du 6 juin, et 

 M. Korkine a raison de dire qu'il n'existe évidemment pas en général de polynôme 

 multiplicateur. Pour rectifier cet erratum assez apparent, il suffisait de se reporter 

 aux Comptes rendus de janvier 1892. 



