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 tous les \ sont distincts, les g s'obliennent algébriquement [la seule équa- 

 tion linéaire exceptée y' — a, (■r)y -+- a^Çx)]. 



» Il est remarquable que les g(x) soient donnés algébriquement en 

 fonction des coefficients de (i), sauf dans le cas où la forme (2) peut être 

 ramenée à une forme irréductible analogue où les X sont des nombres en- 

 tiers (posilifs ou négatifs). 



» J'ajoute que ma méthode permet, à l'aide d'un nombre fini d'opérations 

 algébriques, de reconnaître si l'intégrale d'une équation (i) donnée est de 

 la forme (2), où n est donné. Bien plus, elle permet de traiter le même 

 problème sans que n soit donné, mais avec la seule restriction que 

 gi, • • , gn ne s'expriment pas algébriquement à l'aide des coefficients de (i). 



» J'arrive aux objections de M. Rorkine : M. Korkine me fait dire que 

 les g s'obtiennent algébriquement dans tous les cas où h^i. Non seulement 

 cette erreur n'est contenue nulle part dans ma Note du 8 juin, mais elle est 

 en contradiction formelle avec les théorèmes énoncés. J'ai dit seulement 

 que, quand h est égala 1 et les 1 tous distincts, les g s'obliennent algébri- 

 quement ('). Au sujet de cette dernière proposition, et de la possibilité de 

 reconnaître si une équation (i) est de l'espèce en question, M. Rorkine 

 ajoute : « Bien que ce théorème n'ait aucun rapport avec mon problème, 

 » il semble que c'est là encore un malentendu de l'auteur ». Je ne sais ce 

 que M. Rorkine entend par malentendu; je sais seulement que ce théo- 

 rème, comme les précédents, est exact. 



» La seule rectification que j'aie à faire est la suivante : ayant mal lu 

 une phrase de la Note de M. Rorkine, j'avais cru qu'il spécifiait expressé- 

 ment que les 1 d'une part et les g d'autre part étaient distincts, alors 

 qu'il suppose seulement les 1 différents de zéro et les g distincts. C'est 

 pourquoi j'ai dit qu'on rentrait dans le cas traité par M. Rorkine en sup- 

 posant h égal à I et les 1 distincts. En réalité, j'aurais dû dire : 



» La forme d'intégrale considérée par M. Korkine est la forme (2) où h 

 » est égal à i . M. Korkine suppose de plus p'^q- Les fonctions g,, . . ., g^ 

 » s'obtiennent dans ce cas, d'après ce qui précède, en fonction des coefficients 

 » de (i) soit algébriquement, soit par une quadrature. » 



M Passons à la question inverse : appelons degré r du coefficient diffé- 

 rentiel de (i) le plus grand des deux nombres q etp — 2, et proposons- 

 nous de déterminer toutes les équations (i) de degré donné r dont l'intégrale 

 se laisse mettre sous la forme (2) où l'entier n et les exposants 1 sont donnés. 



(') La seule équation linéaire exceptée. 



