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» Il V a toutefois exception pour les ordres 24 et 56. Dans ces deux cas 

 particuliers, il y a, en outre, des groupes qui ne contiennent i)as un sous- 

 groupe invariant d'ordre p. Il est possible de représenter chacun d'eux 

 par un, et un seul, groupe transitif de degré 8 ( '). Il y a donc i5 groupes 

 d'ordre 24 et i3 groupes d'ordre 56, comme l'annonce M. Levavasseur. 



» B. La formule suivante donne le nombre des groupes de substitutions 

 (transitifs et intransitifs) dont l'ordre est le produit de deux nombres pre- 

 miers p el q ( p y> q). 



» Si /) — I est divisible par q 



N = (y;- + i)(/î- + 2)- w. 



» Si /J — I n'est pas divisible par q 



N = i(/î- + i)(yt + 2) — /«,, 



N étant le nombre total de groupes et k la plus grande des valeurs de z qui 

 satisfait à l'équation suivante 



n — pqz =px -\- qy, 



n désignant le degré des groupes et a;, y, z représentant des nombres en- 

 tiers positifs quelconques. 



)) m est égal à 3 si n est divisible par pq; il est égal à 2 si n est divisible 

 par q sans être divisible par p, et si n est divisible par /? sans être divisible 

 par q, enfin nul si n n'est pas divisible par/> ou par q. 



» m^ est égal k 2. si n est divisible par pq et, si n est divisible par p ou 

 par q sans être divisible par p^r, il est nul si n n'est pas divisible par p ou 

 par q. » 



(') Cf. CoLE,' Otiarterly Journal of Matliematics, l. XXVI, p. 87^ et 376; Miller, 

 Bulletin of the American Mathcmalical Society, t. III, p. 168. Il esl singulier que 

 rénumération faite par M. Cayley ( Quarterly journal of Matliematics, t. XXV, 

 p. i^o et i4i) ne contient aucun groupe transitif de ces ordres. L'énuméralion plus 

 ancienne faite par M. Kirkman {Proceedings of the Litterary and Philosopliical 

 Society of Manchester, i863, contient 3 de ces groupes. 



