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Ces systèmes sont dits correspondants s'ils définissent les mêmes trajec- 

 toires. Un système (A), pris an hasard, admet les correspondants 

 [Ct?f",cQ,], où C et c sont deux constantes; un système (A), où les Q, 

 dérivent d'nn potentiel U, admet les correspondants (indiqués par M. Dar- 

 boux) 



a, h, c, d, étant des constantes. Ces correspondants seront dits correspon- 

 dants ordinaires. L'existence de correspondants non ordinaires entraîne 

 l'existence d'inlégrales quadratiques des systèmes (A), (A,). 



» Quand toutes forces Q, sont nulles, il en est de même des forces Q'^; 

 les géodésiques de ds- et de ds"^ coïncident, et Von peut passer de (A) à (A, ) 

 par un changement de variables dt = X(ir,. . .,a7„)c/^,. Quand les forces Q, 

 ne sont ])as toutes nulles, deux cas sont à distinguer suivant que les géo- 

 désiques de ds- et de ds\ coïncident ou non : (A) et (A,) sont dits corres- 

 pondants de première espèce dans le premier cas, de seconde espèce dans le 

 second cas. Dans le premier cas, à tout système de forces Q, on peut associer 

 des forces î^ i telles que {k) et {k^) se correspondent, et l'on passe de (A) à (A,) 

 par une transformation dt = 'k(^x^. ..,x^)dty. (Voir le Journal de Mathéma- 

 tiques, l&iwier 1894.) 



» Ces résultats rappelés, occupons-nous d'abord des correspondants de 

 première espèce. 



» Pour cela, traitons la question suivante : 



)> Étant donné un système différentiel 



ITÔT = Zà^hjK^^^ ■•■y ^n)-^ -^ =i'l\X^, ..., X„, ^, -^ j 



(«■= 1,2, ..., n), 



où 6 est un paramètre, et a;,, . . . , iK„ les coordonnées d'un point de 

 l'espace à n dimensions; quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes 

 pour que les trajectoires de (^\) soient les géodésiques d'un ds- ? 



» Tout d'abord, une transformation bien élémentaire permet de supposer 



I — n 



que la somme \ ^— ^ est identiquement nulle. Cette restriction faite, les 



/:= I 



conditions nécessaires et suffisantes cherchées sont que le système linéaire 

 de v^ de ,. de v" àe . 



(.) -^ = ^ (y=4,8,..../0 



(0 



