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 admette une intégrale 0(.r x„,p />„) qui soit une forme quadra- 

 tique enjD, p„. 



» Pour que les trajectoires de (i) soient les géodésiques de deux </*- 

 correspondants non ordinaires, il faut que (2) admette deux telles solu- 

 tions linéairement distinctes. Quand on met en évidence, dans (2), les 

 coefficients de 6, les conditions obtenues ne diffèrent pas de celles que 

 M. R. Liouville a obtenues par une voie toute différente. Elles permettent 

 aisément de former des types de correspondants, mais la véritable difficulté 

 consiste à les former tous. C'est ce problème que vient de résoudre de la 

 manière la plus élégante M. Levi-Ciwila. (Ànnati di Matemalica, 1896), en 

 partant de ce fait que deux systèmes correspondants, où les forces sont 

 nulles, se transforment l'un dans l'autre par une transformation 



dt — 'k(x, x„) dt, 



et en s'appuyant sur certains résultats remarquables de M. Ricci. Par le fait 

 même, la formation des correspondants de première espèce est effectuée. 

 » Passons aux correspondants de deuxième espèce. Posons-nous d'abord 

 la question suivante : Étant donné un système 



(3) '^ = P,(^ x,,x\,...,x\^) + p,0^ ■^«) 0'=- I. 2 n), 



quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trajectoires de 



(3) coïncident avec celles d'un système de Lagrange ( T, Q,) ? 



» Il faut pour cela et il suffit : 1° que ce système (3) admette un dernier 



multiplicateur de la forme ;;. (x, , . . ., .r„) [E, - i] ' où E^ est une forme 

 quadratique en x\, ..., x'„ ; 2" que les trajectoires du système 



(4) $ = P, + P.E. 



coïncident avec les géodésiques d'un ds'-. 



» En particulier, si le système (3) provient d'un système de Lagrange 

 (A), pour que ce système (A) admette un correspondant non ordinaire de 

 la seconde espèce, il faut et il suffit : 1° que (A) admette une intégrale qua- 

 dratique, soit F, - r(.r,, ...,x„) = const.; 2° que, si l'on pose 



le système (2) (où l'on remplace les a par les x) ait une solution quadratique 

 enp,, ...,p„. Quand F, - t' — const. se confond avec l'intégrale des forces 



