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 et soient 



(S) 2', (3'),4', (5'),6', (7'), ..., 



les points ou les cercles attachés alternativement aux polygones 



p„ p p p p p 



comme centres, ou lieux du centre des équilalères (2), (3), (4), (5), ((3), 



(7). •••• 



)) On a établi déjà ( ' ), et l'on peut démontrer plus directement, sur les 



seules équations actuelles, que chacun des cercles de la suite (S) passe par 



les deux points de cette suite entre lesquels il se trouve compris : Par 



exemple, le cercle (.1') par les points 4', 6'. 



» Pour le point l\' cela est évident : l'équilatère (4), de centre 4'. coïn- 

 cide avec celle des équilatères (5) que l'on obtient en faisant l. ~ o; et 

 son centre 4' est un point du cercle (5'), lieu du centre de ces équilatères. 



» Pour le point 6', écrivons d'abord, au lieu de (6), avec une notation 

 qui s'explique d'elle-même, 



(H,) o = i;7,T; = ABCD + a. 



et prenant, alternativement, par rapport à l'équilatère H,, les premières 

 polaires de deux points distincts/?', p" de la droite Tg, savoir 



(h;) o = :s^/, t; t^ = 2A' bcd + 2C, + c; ,,, 



( h; ) o = :l\ /, t; t= = s a"b c d -h 2 c, + c;.,,„ , 



éliminons, entre celles-ci, la fonction du second degré C^. La double 

 équation résultante 



(H3-H;) o = i^/; T] =:2 A'BCD — 2:a"bcd + c:.^,,— c:^,„ 



représentera une équilatère du troisième degré, comprise dans la forme (5) 

 et ayant son centre au point 6', centre commun de l'équilatère (6) ou (H ,), 

 et des quatre faisceaux réguliers 



o = ABCD = iA'BGD = IA"BCD = I:A'BCD- :2A"BCD. 



L'une des équilatères (5) a donc pour centre le point G', et ce point 6' 

 appartient an cercle (5), lieu du centre de ces équilatères. 



M 2. Cette propriété établie, les points et les cercles de la suite (S) 

 en résultent aussitôt. 



(') Comptes rendus, i6 septembre tSgS, p. 44 1- 



