( 4i7) 

 » sans ambiguïté par la donnée d'un polygone(P„) considéré comme l'en- 

 » semble de n droites i, 2, ...,«: il arrive que les n + i points P„, P'„, 

 » PJ,, ... définis de la même manière par les polygones du même ordre 

 » (P/i). (f),)' (^n)'--- 'î"^ résultent de l'introduction d'une nouvelle 

 » droite, « -I- i , se trouvent distribués, soit sur un même cercle C„^., ou 

 » sur une même conique r„+, — la conique ou le cercle définis par le po- 

 rt lygone résultant (P„+,) — après quoi les n + 2 cercles C,+,, C)^^,, ... 

 » définis de même par les n + 2 polygones (P„+, ), (P^,+,), ... que l'on 

 » obtient avec une droite de plus, n -\- 2., concourent en un même point, 

 » ou les coniques r„^., , r'„+,, • • • qui les remplacent, dans les trois mêmes 

 » points ». En voici quelques exemples : 



» 3. Pour « = 3, prenons, parmi les points remarquables du triangle 

 (123), le centre du cercle circonscrit. L'emploi de ce centre comme 

 « point défini par le groupe initial (i 2 3) », et l'introduction successive 

 de deux nouvelles droites 4. 5 nous donnerait alors, par analogie, les deux 

 énoncés suivants, qui se trouvent vrais : 



« 1° Les centres respectifs des triangles déterminés par quatre droites 

 » font toujours quatre points d'un môme cercle : le cercle défini par ces 

 » droites ; 



» 2° Étant donné un groupe quelconque de cinq droites, les cercles 

 » définis par quatre quelconques d'entre elles se coupent en un môme 

 » point. » 



» On peut ajouter que le cercle relatif à quatre droites passe par le 

 foyer de la parabole inscrite. 



» 4. Pour n = 4, si l'on prend le foyer de la parabole inscrite comme 

 point défini par un groupe de quatre droites, on obtient les deux séries illi- 

 mitées de points homocycliques et de cercles en collinéation, greffés par 

 M. Clifford sur le théorème de Miquel. 



» 5. Pour n = 5, le centre de la conique inscrite au pentagone 

 (i 2...5) se trouve tout désigné pour un essai analogue, et l'on a, en 

 effet, ce théorème : 



« 1° Les centres des coniques inscrites aux pentagones déterminés par 

 » un groupe quelconque de six droites font toujours six points d'une 

 » même conique; et les coniques analogues, obtenues avec sept droites, 

 » se coupent suivant les trois mêmes points; 



» 2° Si les droites employées sont tangentes à une même hypocloide à 

 » trois rebroussements, les coniques précédentes sont remplacées par des 



