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néaire 2a,/i.r,^-2 ^^ indéterminées conjuguées, dont le déterminant n'est pas 

 nul, peut être transformée en elle-même quand on effectue les deux sub- 

 stitutions sur les variables. Pour ce but, c'est une condition nécessaire et 

 suffisante que les deux fonctions caractéristiques des deux substitutions, 

 cela veut dire les deux déterminants 



P^ 



A = 



P^ 



P^ 



P^n 

 Pm 



Pm 



et 



A" = 



p\. 



Pin 



Pi. 



p'L 



Pu, 



Plu • 



oi^i p est un paramètre arbitraire, aient des diviseurs élémentaires (elemen- 

 tartheiler de M. Weierstrass), adjoints l'un à l'autre de manière qu'ils 

 soient de degré égal et s'annulent pour des valeurs réciproques. Dans ce 

 cas, non seulementla forme ^cii^x^x^, mais encore le faisceau de formes bi- 

 linéaires 



oi^i les coefficients a^ et cin, sont des quantités imaginaires conjuguées, et r 

 est un paramètre arbitraire, est transformé en lui-même. Pour r = i on 

 trouve la forme spéciale 2(«,vt + f'"/)-'^/-^!'' que M. Hermite a étudiée le 

 premier pour n = 2 et que nous voulons nommer une forme quadratique 

 de M. Hermite. Une telle forme lc:,^ViXl est caractérisée par le fait que les 

 coefficients c,, sont réels et que les coefficients C/^ et c^, sont des quantités 

 imaginaires conjuguées. 



» Le cas le plus élémentaire et le plus important est sans doute celui 

 qui suppose que les diviseurs élémentaires sont simples, et que toute ra- 

 cine de A = o est adjointe à la racine imaginaire conjuguée de A" = o. On 

 voit que A et A° s'annulent toujours pour des valeurs imaginaires conju- 

 guées; par conséquent, l'adjonction susdite est possible. Sous cette hypo- 

 thèse, le module de chaque racine de A = o est l'unité, et tous les mineurs 

 de l'ordre n — (m — i) du déterminant A s'annulent pour une racine 

 m-tuple de A = o. Dans ce cas, les deux substitutions transforment une 

 forme quadratique définie (positive) de M. Hermite en elle-même. Une 

 forme quadratique de M. Hermite est nommée définie (positive) quand elle 

 peut être mise sous la forme d'une somme de modules, et que, par consé- 

 quent, elle a un signe invariable positif. 



« Inversement, on démontre que toute forme définie de M. Hermite est 

 transformée en elle-même seulement parties substitutions, dont les fonc- 



