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GÉOMÉTRIE. — Sur l'emploi d'un cercle fixe, dérivé d'un groupe quelconque 

 de sept tangentes d'une conir/ue, pour définir, a priori, le cercle dérivé 

 de sept droites quelconques. Note de M. Paul Serket. 



« On peut obtenir a priori le « cercle dérivé de sept droites » dans le cas 

 spécial où les droites données sont tangentes à une même conique. Ce cercle, 

 en effet, ne dépend alors que de la conique inscrite, non du groupe tan- 

 gentiel employé pour le définir. Et il arrive, d'ailleurs, que l'on peut passer 

 analvtiquement, de ce cas doublement particulier, au cas général, par 

 le chemin le plus court, en dehors de tous les circuits géométriques qui 

 nous y avaient mené en premier lieu. 



» Nous emploierons les lemmes suivants : 



» 1. Lemme I. — Tout heptagone (T, ...T,). circonscrit à une conique, 

 a pour cercle dérivé un cercle fixe (C, r\J — i), de même centre C que celte 

 conique, et qui se déduit du cercle de Monge (C, /•) attaché à celle-ci, en mul- 

 tipliant son rayon par \j — j. 



» Pour une enveloppe, plane ou solide, de classe n, il existe une propo- 

 sition analogue dont l'énoncé et la démonslration, à la fois, s'obtiennent 

 par la méthode déjà employée. Mais, pour le cas simple actuel, il suffit de 

 poser l'identité 



2; /, T^ = 2; /, (a, a; + è,_r - /), )' = a7- + y= -H ■î za; -f- 2 ? y + A. 

 et d'utiliser, avec les équations de condition résultantes, la relation 



P, = «■ «/ + ''' ^ ' 



qui exprime que les droites considérées o = T,H^f7,.T 4- hiy — Pi sont tan- 

 gentes à l'ellipse -; -f- ^^ ^ i . On trouve ainsi, avec o = « = fl, y = — ^, — ; 

 d'où, pour le cercle dérivé, 



(i) o=:2:/,T^^a;^- + r-^+^^ 



c'est le lemme énoncé et qui entraîne aussitôt le suivant : 



» Lemme IJ. — Huit tangentes T,, . . ., T» d'une conique vérifient toujours 

 l'identité 



(2) 1:1X^0. 



