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 résolvante générale au système S, c'est-à-dire les degrés des diverses mul- 

 tiplicités qui composent la solution générale de ce système. 



» Cette méthode n'offre que peu d'intérêt au point de vue de l'étude 

 des systèmes algébriques, car on voit facilement qu'au fond ce n'est que 

 la méthode de Kronecker dans laquelle on se serait assujetti à faire toutes 

 les éliminations par le procédé de Sylvester, mais sa parfaite analogie 

 avec celle que j'ai employée pour l'étude des systèmes différentiels 

 permet de faire, entre ces deux sortes de systèmes, des rapprochements 

 intéressants : 



)) Soit i un système différentiel et à une inconnue z, a m variables 

 X-,, iTo, . . ., Xm, et dont chaque équation (!> =: o a pour premier membre une 

 fonction linéaire, homogène et à coefficients constants des dérivées par- 

 tielles d'un même ordre de z. 



» Soit S le système algébrique homogène et à m inconnues obtenu en 



remplaçant, dans toutes les équations $, chaque dérivée -y^ — " ^,„ par 

 le monôme correspondant a;*'. . . a;""'. 



» Il y a entre 2 et S des relations très étroites. Par exemple, on sait 

 depuis longtemps que toute solution «, «j . . . a,„ de S fournit pour 1 les 

 solutions 



f{a,x, -I- «2 + >3:-o + . . . 4- «,„a7,„), 



/étant une fonction arbitraire. L'étude précédente va nous fournir d'autres 

 relations. 



» La réduction simultanée de i et S à leurs formes canoniques montre 

 en effet que 2 et S ont forcément les mêmes indices. Mais ces indices com- 

 muns déterminent, d'une part, le nombre et la nature des fonctions 

 arbitraires qui entrent dans l'intégrale générale de i et, d'autre part, les 

 degrés des diverses multiplicités qui composent la solution générale de S; 

 donc : 



)) Dés que, par un procédé quelconque, on connaît les degrés des diverses 

 multiplicités qui composent la solution générale de S, on connaît, par là même, 

 le nombre et la nature des fonctions arbitraires qui figurent dans r intégrale 

 générale de 1. 



■» Ou d'une façon plus précise, en prenant le langage géométrique et 

 considérant les S comme des surfaces en coordonnées homogènes dans 

 l'espace km — i dimensions : 



» La condition nécessaire cl suffisante pour que l'intégrale générale de 2 



C. R., 1S96, 1' Semestre. (T. GXXIII, N" 14.) 7^ 



