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conlienne 



p, fonctions arbitraires de m — i variables 

 p2 » m — 2 » 



Pm-2 » 2 » 



P«-l » I » 



est que l'intersection complète des surfaces S se compose de 



Une multiplicité à m — 2 dimensions et de degré p, 



» m — 3 » p2 



ï 



» 1 » p,„_2 



» o » p,„_, 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la région de sommahililé d'un dévelop- 

 pement de Taylor. Note de M. Emile Borel, présentée par M. Picard. 



« J'ai donné récemment une théorie de la sommation des séries diver- 

 gentes {Comptes rendus, 3o décembre 1893, i3 janvier et 7 avril 1896; 

 Journal de Mathématiques, 1896) ; dans ce qui va suivre, je suppose qu'on 

 se serve uniquement, pour la sommation, de la fonction entière e", sans 

 utiliser les généralisations que j'ai indiquées. 



» Etant donné un développement de Taylor, ordonné suivant les puissances 

 de z, d est sommable dans toute région intérieure au polygone convexe obtenu 

 comme d suit : on joint chaque point singulier de la fonction représentée 

 au point s = o, on mène à chaque droite ainsi obtenue uneperpendiculaire 

 par le point singulier correspondant et l'on supprime les portions du plan 

 situées au delà de ces perpendiculaires, par rapport au point ;; = o. On 

 voit que, si la fonction n'admet pas de point singulier de l'un des côtés 

 d'une droite passant par le point :; = o, ce polygone n'est pas fermé, et la 

 série est sommable dans une région infinie. 



» On peut utiliser cette proposition pour rechercher les points singuliers 

 de la fonction, en particulier ceux qui sont situés sur le cercle de conver- 

 gence. 



» Je me bornerai à la remarque suivante : Pour qu'une série de Taylor 

 admette son cercle de convergence comme coupure, il est nécessaire et suffisant 

 que sa région de sommahilité ne dépasse nulle part ce cercle. Comme appli- 

 cation, considérons la série 



^a.z'» 



