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 Formons maintenant la suite de Laplace pour (6) et (7 ) 



(e_,-,) ..., ('-)i)> (-01)' ('ii)> ••■' ('/()' •••' 



(£_,-,.) •••, (£-22). (^02). (s. 2). •••. (=<2)' •••' 



Je dis que /es équations {t^) et (£,-,,2) des deux suites sont équivalentes, c'est- 

 à-dire elles ont les mêmes invariants. En effet, en remplaçant en (£,-,,0) la 



fonction cp,_,,o par^cp,,, nous trouverons (e,,); et si l'on remplace ç_,. 



en (£_,.,) par |7^9_,+,,,, nous aurons (e_(,_,),,). 



» L'intégration de ces deux suites est donc ramenée à l'intégration de 

 l'une d'elles. 



» Nous avons les relations suivantes pour les invariants, en écrivant 

 /«,_, au lieu de k^, 



i 



v/sG ^-1 G^ ,/_, 7/^2 / 



» L'étude des équations (£„,) ou (e,,.) est ramenée maintenant à la con- 

 sidération des invariants A,. » 



MÉCA.NIQUE ANALYTIQUE. — Sur les singularités des équations 

 de la Dynamique. Note de M. Paul Painlevé, présentée par M. Poincaré. 



« Soit S un système matériel à liaisons indépendantes du temps, à n de- 

 grés de liberté, soumis à des forces qui ne dépendent ni des vitesses, ni du 

 temps. Le problème général de la Dynamique cousiste à calculer la posi- 

 tion de S à un instant / quelconque, connaissant la position et les vitesses 

 de S à l'instant / = o. La chose est-elle théoriquement possible? Quand S 

 passe par certaines positions singulières, il arrive, comme l'on sait, que 

 l'étude du mouvement ne puisse être poursuivie. Mais une singularité 

 beaucoup plus inattendue consiste en ce fait que, l tendant vers ^,, S ne 



