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tend pas nécessairement vers une position limite, ainsi que je vais le mon- 

 trer sur quelques exemples. 



» Je suppose que les paramètres j?,, . . . , it„, choisis pour définir la po- 

 sition de S, ont une valeur unique, réelle et finie pour toute position de S 

 à distance finie; que la force vive 2T(. . . , a;,', .... Xi, . . . ") ne s'annule, 

 pour aucune position de S, sans que tous les x soient nuls; qu'à un sys- 

 tème de valeurs a-,, . . . , x^ ne correspondent qu'un nombre fini de posi- 

 tions de S. Quand S occupe toutes ses positions, il est possible que x^, ...,x,^ 

 n'épuisent pas toutes les valeurs réelles possibles, mais seulement un cer- 

 tain ensemble D, que je considère exclusivement dans ce qui suit. 



» Je suppose de plus que les coefficients A,(.r, , . . . , a:',j) de T admettent 

 des dérivées partielles premières et secondes, et que les coefficients du 

 travail virtuel 2;X,(a;,, . . . , a;„)Sa7; des forces données admettent des déri- 

 vées premières. Il n'y a d'exception que pour des positions particulières 

 de S que j'appelle positions singulières . Encore suffit-il de réserver ce nom 

 à celles de ces positions qui restent singulières, de quelque façon qu'on 

 choisisse les a7,( astreints aux restrictions indiquées). 



» Soient maintenant x% x'-' les valeurs des x^, x\ pour f = o, les x] ne 

 définissant pas une position singulière. Les équations de Lagrange permet- 

 tent de calculer le mouvement tant que t ne dépasse pas une certaine li- 

 mite^, . Quand i tend vers/,, plusieurs circonstances peuvent se présenter. 



» 1° S tend vers une position non singulière. J'ai montré {Bull, de la Soc. 

 Math., i8g4) que les x- tendent vers des limites finies; il n'y a aucune dif- 

 ficulté à suivre S pour f^t,. 



» 2° S tend vers une position singulière. Certains des x' peuvent tendre 

 vers l'infini ou ne tendre vers aucune limite. Les équations ne permettent 

 pas, en général, de calculer le mouvement pour / ]> ^, . 



» 3" S ne tend vers aucune position limite à distance finie. Cette hypo- 

 thèse se décom])ose en trois cas : dans le premier, tous les points de S 

 s'éloignent indéfiniment; il n'y a pas lieu de poursuivre l'étude du mouve- 

 ment. Dans le second cas, une partie S' de S s'éloigne à l'infini, l'autre par- 

 tie S" tendant vers une position limite S'^ ; on peut suivre S" pour / > /,, si 

 S'[ n'est pas une position singulière de S" et si les forces exercées par S' sur 

 S" tendent vers zéro quand S' tend vers l'infini. Dans le troisième cas, cer- 

 tains points S' de S ne tendent vers aucune position limite, ni vers l'infini : il 

 est impossible de calculer la position de S pour t^t,. Avant de donner 

 quelques exemples de ce troisième cas, j'observe que la discussion précé- 

 dente subsiste si les X, sont des polynômes du second degré par rapport 

 aux vitesses. 



